Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19440 / 14289
↖ ↑ ↗
← N 22.421185°
E 33.574219°		 ← 1 129.29 m → N 22.421185°
E 33.585205°		 →
↑
1 129.32 m
↓
↑
1 129.32 m
↓
N 22.411029°
E 33.574219°		 ← 1 129.37 m →
1 275 380 m²		 N 22.411029°
E 33.585205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593276977539062 y=0.436080932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593276977539062 × 215)
    floor (0.593276977539062 × 32768)
    floor (19440.5)     		tx = 19440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436080932617188 × 215)
    floor (0.436080932617188 × 32768)
    floor (14289.5)     		ty = 14289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19440 / 14289 ti = "15/19440/14289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19440/14289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19440 ÷ 215
    19440 ÷ 32768     		x = 0.59326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14289 ÷ 215
    14289 ÷ 32768     		y = 0.436065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59326171875 × 2 - 1) × π
    0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436065673828125 × 2 - 1) × π
    0.12786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.401711218816071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58598066} λ = 0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401711218816071))-π/2
    2×atan(1.49437972161322)-π/2
    2×0.981059911088692-π/2
    1.96211982217738-1.57079632675     		φ = 0.39132350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39132350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.421185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19440 KachelY 14289 0.58598066 0.39132350 33.574219 22.421185
    Oben rechts KachelX + 1 19441 KachelY 14289 0.58617241 0.39132350 33.585205 22.421185
    Unten links KachelX 19440 KachelY + 1 14290 0.58598066 0.39114624 33.574219 22.411029
    Unten rechts KachelX + 1 19441 KachelY + 1 14290 0.58617241 0.39114624 33.585205 22.411029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39132350-0.39114624) × R
    0.000177260000000012 × 6371000     		dl = 1129.32346000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39132350-0.39114624) × R
    0.000177260000000012 × 6371000     		dr = 1129.32346000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58598066-0.58617241) × cos(0.39132350) × R
    0.000191749999999935 × 0.924405070577397 × 6371000     		do = 1129.28951711599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58598066-0.58617241) × cos(0.39114624) × R
    0.000191749999999935 × 0.924472665180509 × 6371000     		du = 1129.37209333624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39132350)-sin(0.39114624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924405070577397-0.924472665180509)×R²
    abs(0.58617241-0.58598066)×6.7594603112342e-05×R²
    0.000191749999999935×6.7594603112342e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.7594603112342e-05×40589641000000     		ar = 1275379.77578212m²