Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1944 / 1240
↖ ↑ ↗
← N 57.704147°
W  9.140625°		 ← 5 221.62 m → N 57.704147°
W  9.052734°		 →
↑
5 224.98 m
↓
↑
5 224.98 m
↓
N 57.657158°
W  9.140625°		 ← 5 228.39 m →
27 300 583 m²		 N 57.657158°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4747314453125 y=0.3028564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4747314453125 × 212)
    floor (0.4747314453125 × 4096)
    floor (1944.5)     		tx = 1944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3028564453125 × 212)
    floor (0.3028564453125 × 4096)
    floor (1240.5)     		ty = 1240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1944 / 1240 ti = "12/1944/1240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1944/1240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1944 ÷ 212
    1944 ÷ 4096     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1240 ÷ 212
    1240 ÷ 4096     		y = 0.302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302734375 × 2 - 1) × π
    0.39453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23945647657617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23945647657617))-π/2
    2×atan(3.45373576823313)-π/2
    2×1.28896184403541-π/2
    2.57792368807082-1.57079632675     		φ = 1.00712736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00712736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.704147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1944 KachelY 1240 -0.15953400 1.00712736 -9.140625 57.704147
    Oben rechts KachelX + 1 1945 KachelY 1240 -0.15800002 1.00712736 -9.052734 57.704147
    Unten links KachelX 1944 KachelY + 1 1241 -0.15953400 1.00630724 -9.140625 57.657158
    Unten rechts KachelX + 1 1945 KachelY + 1 1241 -0.15800002 1.00630724 -9.052734 57.657158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00712736-1.00630724) × R
    0.00082011999999998 × 6371000     		dl = 5224.98451999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00712736-1.00630724) × R
    0.00082011999999998 × 6371000     		dr = 5224.98451999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15800002) × cos(1.00712736) × R
    0.00153398000000002 × 0.534291166586826 × 6371000     		do = 5221.62040086566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15800002) × cos(1.00630724) × R
    0.00153398000000002 × 0.53498423468071 × 6371000     		du = 5228.39374604621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00712736)-sin(1.00630724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534291166586826-0.53498423468071)×R²
    abs(-0.15800002--0.15953400)×0.00069306809388392×R²
    0.00153398000000002×0.00069306809388392×6371000²
    0.00153398000000002×0.00069306809388392×40589641000000     		ar = 27300582.6058918m²