Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1944 / 1096
↖ ↑ ↗
← N 63.860036°
W  9.140625°		 ← 4 305.64 m → N 63.860036°
W  9.052734°		 →
↑
4 308.64 m
↓
↑
4 308.64 m
↓
N 63.821288°
W  9.140625°		 ← 4 311.57 m →
18 564 250 m²		 N 63.821288°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4747314453125 y=0.2677001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4747314453125 × 212)
    floor (0.4747314453125 × 4096)
    floor (1944.5)     		tx = 1944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2677001953125 × 212)
    floor (0.2677001953125 × 4096)
    floor (1096.5)     		ty = 1096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1944 / 1096 ti = "12/1944/1096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1944/1096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1944 ÷ 212
    1944 ÷ 4096     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1096 ÷ 212
    1096 ÷ 4096     		y = 0.267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267578125 × 2 - 1) × π
    0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46034971002539))-π/2
    2×atan(4.30746562889508)-π/2
    2×1.34268210679646-π/2
    2.68536421359292-1.57079632675     		φ = 1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1944 KachelY 1096 -0.15953400 1.11456789 -9.140625 63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 1945 KachelY 1096 -0.15800002 1.11456789 -9.052734 63.860036
    Unten links KachelX 1944 KachelY + 1 1097 -0.15953400 1.11389160 -9.140625 63.821288
    Unten rechts KachelX + 1 1945 KachelY + 1 1097 -0.15800002 1.11389160 -9.052734 63.821288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11456789-1.11389160) × R
    0.000676289999999913 × 6371000     		dl = 4308.64358999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11456789-1.11389160) × R
    0.000676289999999913 × 6371000     		dr = 4308.64358999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15800002) × cos(1.11456789) × R
    0.00153398000000002 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 4305.64012139489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15800002) × cos(1.11389160) × R
    0.00153398000000002 × 0.441172457439575 × 6371000     		du = 4311.57250602264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11456789)-sin(1.11389160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.441172457439575)×R²
    abs(-0.15800002--0.15953400)×0.000607018599605214×R²
    0.00153398000000002×0.000607018599605214×6371000²
    0.00153398000000002×0.000607018599605214×40589641000000     		ar = 18564249.6829547m²