Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1944 / 1080
↖ ↑ ↗
← N 64.472794°
W  9.140625°		 ← 4 211.57 m → N 64.472794°
W  9.052734°		 →
↑
4 214.48 m
↓
↑
4 214.48 m
↓
N 64.434892°
W  9.140625°		 ← 4 217.40 m →
17 761 859 m²		 N 64.434892°
W  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4747314453125 y=0.2637939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4747314453125 × 212)
    floor (0.4747314453125 × 4096)
    floor (1944.5)     		tx = 1944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2637939453125 × 212)
    floor (0.2637939453125 × 4096)
    floor (1080.5)     		ty = 1080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1944 / 1080 ti = "12/1944/1080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1944/1080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1944 ÷ 212
    1944 ÷ 4096     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1080 ÷ 212
    1080 ÷ 4096     		y = 0.263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263671875 × 2 - 1) × π
    0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48489340263086))-π/2
    2×atan(4.41449481416346)-π/2
    2×1.34802942844824-π/2
    2.69605885689648-1.57079632675     		φ = 1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1944 KachelY 1080 -0.15953400 1.12526253 -9.140625 64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 1945 KachelY 1080 -0.15800002 1.12526253 -9.052734 64.472794
    Unten links KachelX 1944 KachelY + 1 1081 -0.15953400 1.12460102 -9.140625 64.434892
    Unten rechts KachelX + 1 1945 KachelY + 1 1081 -0.15800002 1.12460102 -9.052734 64.434892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12526253-1.12460102) × R
    0.000661510000000032 × 6371000     		dl = 4214.4802100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12526253-1.12460102) × R
    0.000661510000000032 × 6371000     		dr = 4214.4802100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15800002) × cos(1.12526253) × R
    0.00153398000000002 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 4211.56721717529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15800002) × cos(1.12460102) × R
    0.00153398000000002 × 0.431536469195384 × 6371000     		du = 4217.40012222712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12526253)-sin(1.12460102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.431536469195384)×R²
    abs(-0.15800002--0.15953400)×0.000596839564249718×R²
    0.00153398000000002×0.000596839564249718×6371000²
    0.00153398000000002×0.000596839564249718×40589641000000     		ar = 17761858.6690372m²