Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19439 / 14275
↖ ↑ ↗
← N 22.563293°
E 33.563232°		 ← 1 128.13 m → N 22.563293°
E 33.574219°		 →
↑
1 128.18 m
↓
↑
1 128.18 m
↓
N 22.553147°
E 33.563232°		 ← 1 128.21 m →
1 272 777 m²		 N 22.553147°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593246459960938 y=0.435653686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593246459960938 × 215)
    floor (0.593246459960938 × 32768)
    floor (19439.5)     		tx = 19439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435653686523438 × 215)
    floor (0.435653686523438 × 32768)
    floor (14275.5)     		ty = 14275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19439 / 14275 ti = "15/19439/14275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19439/14275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19439 ÷ 215
    19439 ÷ 32768     		x = 0.593231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14275 ÷ 215
    14275 ÷ 32768     		y = 0.435638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593231201171875 × 2 - 1) × π
    0.18646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58578891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435638427734375 × 2 - 1) × π
    0.12872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.404395685194794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58578891} λ = 0.58578891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404395685194794))-π/2
    2×atan(1.49839672307329)-π/2
    2×0.982300041998684-π/2
    1.96460008399737-1.57079632675     		φ = 0.39380376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58578891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39380376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.563293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19439 KachelY 14275 0.58578891 0.39380376 33.563232 22.563293
    Oben rechts KachelX + 1 19440 KachelY 14275 0.58598066 0.39380376 33.574219 22.563293
    Unten links KachelX 19439 KachelY + 1 14276 0.58578891 0.39362668 33.563232 22.553147
    Unten rechts KachelX + 1 19440 KachelY + 1 14276 0.58598066 0.39362668 33.574219 22.553147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39380376-0.39362668) × R
    0.000177079999999996 × 6371000     		dl = 1128.17667999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39380376-0.39362668) × R
    0.000177079999999996 × 6371000     		dr = 1128.17667999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58578891-0.58598066) × cos(0.39380376) × R
    0.000191750000000046 × 0.923456226801699 × 6371000     		do = 1128.13037231813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58578891-0.58598066) × cos(0.39362668) × R
    0.000191750000000046 × 0.923524158589623 × 6371000     		du = 1128.21336045658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39380376)-sin(0.39362668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923456226801699-0.923524158589623)×R²
    abs(0.58598066-0.58578891)×6.79317879238583e-05×R²
    0.000191750000000046×6.79317879238583e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.79317879238583e-05×40589641000000     		ar = 1272777.19401582m²