Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19438 / 14482
↖ ↑ ↗
← N 20.447603°
E 33.552246°		 ← 1 144.61 m → N 20.447603°
E 33.563232°		 →
↑
1 144.74 m
↓
↑
1 144.74 m
↓
N 20.437308°
E 33.552246°		 ← 1 144.68 m →
1 310 322 m²		 N 20.437308°
E 33.563232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593215942382812 y=0.441970825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593215942382812 × 215)
    floor (0.593215942382812 × 32768)
    floor (19438.5)     		tx = 19438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441970825195312 × 215)
    floor (0.441970825195312 × 32768)
    floor (14482.5)     		ty = 14482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19438 / 14482 ti = "15/19438/14482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19438/14482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19438 ÷ 215
    19438 ÷ 32768     		x = 0.59320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14482 ÷ 215
    14482 ÷ 32768     		y = 0.44195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44195556640625 × 2 - 1) × π
    0.1160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364703932309387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58559717} λ = 0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364703932309387))-π/2
    2×atan(1.4400875816222)-π/2
    2×0.963837156380917-π/2
    1.92767431276183-1.57079632675     		φ = 0.35687799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35687799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.447603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19438 KachelY 14482 0.58559717 0.35687799 33.552246 20.447603
    Oben rechts KachelX + 1 19439 KachelY 14482 0.58578891 0.35687799 33.563232 20.447603
    Unten links KachelX 19438 KachelY + 1 14483 0.58559717 0.35669831 33.552246 20.437308
    Unten rechts KachelX + 1 19439 KachelY + 1 14483 0.58578891 0.35669831 33.563232 20.437308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35687799-0.35669831) × R
    0.00017967999999996 × 6371000     		dl = 1144.74127999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35687799-0.35669831) × R
    0.00017967999999996 × 6371000     		dr = 1144.74127999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.35687799) × R
    0.000191739999999996 × 0.936992064505939 × 6371000     		do = 1144.60658717453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.35669831) × R
    0.000191739999999996 × 0.937054820703604 × 6371000     		du = 1144.68324861058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35687799)-sin(0.35669831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936992064505939-0.937054820703604)×R²
    abs(0.58578891-0.58559717)×6.27561976648261e-05×R²
    0.000191739999999996×6.27561976648261e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.27561976648261e-05×40589641000000     		ar = 1310322.29197865m²