Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19438 / 14318
↖ ↑ ↗
← N 22.126355°
E 33.552246°		 ← 1 131.61 m → N 22.126355°
E 33.563232°		 →
↑
1 131.68 m
↓
↑
1 131.68 m
↓
N 22.116177°
E 33.552246°		 ← 1 131.69 m →
1 280 671 m²		 N 22.116177°
E 33.563232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593215942382812 y=0.436965942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593215942382812 × 215)
    floor (0.593215942382812 × 32768)
    floor (19438.5)     		tx = 19438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436965942382812 × 215)
    floor (0.436965942382812 × 32768)
    floor (14318.5)     		ty = 14318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19438 / 14318 ti = "15/19438/14318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19438/14318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19438 ÷ 215
    19438 ÷ 32768     		x = 0.59320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14318 ÷ 215
    14318 ÷ 32768     		y = 0.43695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    0.1260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396150538460144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58559717} λ = 0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396150538460144))-π/2
    2×atan(1.48609301486753)-π/2
    2×0.978487034404663-π/2
    1.95697406880933-1.57079632675     		φ = 0.38617774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38617774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.126355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19438 KachelY 14318 0.58559717 0.38617774 33.552246 22.126355
    Oben rechts KachelX + 1 19439 KachelY 14318 0.58578891 0.38617774 33.563232 22.126355
    Unten links KachelX 19438 KachelY + 1 14319 0.58559717 0.38600011 33.552246 22.116177
    Unten rechts KachelX + 1 19439 KachelY + 1 14319 0.58578891 0.38600011 33.563232 22.116177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38617774-0.38600011) × R
    0.000177629999999984 × 6371000     		dl = 1131.6807299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38617774-0.38600011) × R
    0.000177629999999984 × 6371000     		dr = 1131.6807299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.38617774) × R
    0.000191739999999996 × 0.926355478989949 × 6371000     		do = 1131.61319447908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.38600011) × R
    0.000191739999999996 × 0.926422368786415 × 6371000     		du = 1131.69490541832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38617774)-sin(0.38600011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926355478989949-0.926422368786415)×R²
    abs(0.58578891-0.58559717)×6.68897964656301e-05×R²
    0.000191739999999996×6.68897964656301e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.68897964656301e-05×40589641000000     		ar = 1280671.0847207m²