Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19438 / 14310
↖ ↑ ↗
← N 22.207749°
E 33.552246°		 ← 1 130.96 m → N 22.207749°
E 33.563232°		 →
↑
1 131.04 m
↓
↑
1 131.04 m
↓
N 22.197577°
E 33.552246°		 ← 1 131.04 m →
1 279 210 m²		 N 22.197577°
E 33.563232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593215942382812 y=0.436721801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593215942382812 × 215)
    floor (0.593215942382812 × 32768)
    floor (19438.5)     		tx = 19438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436721801757812 × 215)
    floor (0.436721801757812 × 32768)
    floor (14310.5)     		ty = 14310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19438 / 14310 ti = "15/19438/14310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19438/14310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19438 ÷ 215
    19438 ÷ 32768     		x = 0.59320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14310 ÷ 215
    14310 ÷ 32768     		y = 0.43670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43670654296875 × 2 - 1) × π
    0.1265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.397684519247986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58559717} λ = 0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397684519247986))-π/2
    2×atan(1.48837440235621)-π/2
    2×0.979197334702354-π/2
    1.95839466940471-1.57079632675     		φ = 0.38759834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38759834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.207749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19438 KachelY 14310 0.58559717 0.38759834 33.552246 22.207749
    Oben rechts KachelX + 1 19439 KachelY 14310 0.58578891 0.38759834 33.563232 22.207749
    Unten links KachelX 19438 KachelY + 1 14311 0.58559717 0.38742081 33.552246 22.197577
    Unten rechts KachelX + 1 19439 KachelY + 1 14311 0.58578891 0.38742081 33.563232 22.197577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38759834-0.38742081) × R
    0.000177529999999981 × 6371000     		dl = 1131.04362999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38759834-0.38742081) × R
    0.000177529999999981 × 6371000     		dr = 1131.04362999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.38759834) × R
    0.000191739999999996 × 0.925819474865683 × 6371000     		do = 1130.95842495154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.38742081) × R
    0.000191739999999996 × 0.925886560580488 × 6371000     		du = 1131.04037521983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38759834)-sin(0.38742081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925819474865683-0.925886560580488)×R²
    abs(0.58578891-0.58559717)×6.70857148056259e-05×R²
    0.000191739999999996×6.70857148056259e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.70857148056259e-05×40589641000000     		ar = 1279209.67036053m²