Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19438 / 14282
↖ ↑ ↗
← N 22.492257°
E 33.552246°		 ← 1 128.65 m → N 22.492257°
E 33.563232°		 →
↑
1 128.69 m
↓
↑
1 128.69 m
↓
N 22.482106°
E 33.552246°		 ← 1 128.73 m →
1 273 941 m²		 N 22.482106°
E 33.563232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593215942382812 y=0.435867309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593215942382812 × 215)
    floor (0.593215942382812 × 32768)
    floor (19438.5)     		tx = 19438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435867309570312 × 215)
    floor (0.435867309570312 × 32768)
    floor (14282.5)     		ty = 14282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19438 / 14282 ti = "15/19438/14282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19438/14282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19438 ÷ 215
    19438 ÷ 32768     		x = 0.59320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14282 ÷ 215
    14282 ÷ 32768     		y = 0.43585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    0.1282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.403053452005432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58559717} λ = 0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403053452005432))-π/2
    2×atan(1.49638687440528)-π/2
    2×0.981680135740103-π/2
    1.96336027148021-1.57079632675     		φ = 0.39256394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39256394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.492257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19438 KachelY 14282 0.58559717 0.39256394 33.552246 22.492257
    Oben rechts KachelX + 1 19439 KachelY 14282 0.58578891 0.39256394 33.563232 22.492257
    Unten links KachelX 19438 KachelY + 1 14283 0.58559717 0.39238678 33.552246 22.482106
    Unten rechts KachelX + 1 19439 KachelY + 1 14283 0.58578891 0.39238678 33.563232 22.482106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39256394-0.39238678) × R
    0.00017716000000001 × 6371000     		dl = 1128.68636000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39256394-0.39238678) × R
    0.00017716000000001 × 6371000     		dr = 1128.68636000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.39256394) × R
    0.000191739999999996 × 0.923931240563718 × 6371000     		do = 1128.65180411447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58559717-0.58578891) × cos(0.39238678) × R
    0.000191739999999996 × 0.923999000141274 × 6371000     		du = 1128.73457755701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39256394)-sin(0.39238678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923931240563718-0.923999000141274)×R²
    abs(0.58578891-0.58559717)×6.77595775561146e-05×R²
    0.000191739999999996×6.77595775561146e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.77595775561146e-05×40589641000000     		ar = 1273940.61245352m²