Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19436 / 14309
↖ ↑ ↗
← N 22.217920°
E 33.530273°		 ← 1 130.94 m → N 22.217920°
E 33.541260°		 →
↑
1 130.98 m
↓
↑
1 130.98 m
↓
N 22.207749°
E 33.530273°		 ← 1 131.02 m →
1 279 112 m²		 N 22.207749°
E 33.541260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593154907226562 y=0.436691284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593154907226562 × 215)
    floor (0.593154907226562 × 32768)
    floor (19436.5)     		tx = 19436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436691284179688 × 215)
    floor (0.436691284179688 × 32768)
    floor (14309.5)     		ty = 14309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19436 / 14309 ti = "15/19436/14309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19436/14309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19436 ÷ 215
    19436 ÷ 32768     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14309 ÷ 215
    14309 ÷ 32768     		y = 0.436676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436676025390625 × 2 - 1) × π
    0.12664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.397876266846466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397876266846466))-π/2
    2×atan(1.48865982193689)-π/2
    2×0.979286093315871-π/2
    1.95857218663174-1.57079632675     		φ = 0.38777586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38777586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.217920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19436 KachelY 14309 0.58521367 0.38777586 33.530273 22.217920
    Oben rechts KachelX + 1 19437 KachelY 14309 0.58540542 0.38777586 33.541260 22.217920
    Unten links KachelX 19436 KachelY + 1 14310 0.58521367 0.38759834 33.530273 22.207749
    Unten rechts KachelX + 1 19437 KachelY + 1 14310 0.58540542 0.38759834 33.541260 22.207749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38777586-0.38759834) × R
    0.000177520000000042 × 6371000     		dl = 1130.97992000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38777586-0.38759834) × R
    0.000177520000000042 × 6371000     		dr = 1130.97992000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58540542) × cos(0.38777586) × R
    0.000191749999999935 × 0.92575236375322 × 6371000     		do = 1130.93542334083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58540542) × cos(0.38759834) × R
    0.000191749999999935 × 0.925819474865683 × 6371000     		du = 1131.01740890992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38777586)-sin(0.38759834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92575236375322-0.925819474865683)×R²
    abs(0.58540542-0.58521367)×6.71111124627144e-05×R²
    0.000191749999999935×6.71111124627144e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.71111124627144e-05×40589641000000     		ar = 1279111.61999062m²