Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19436 / 14284
↖ ↑ ↗
← N 22.471955°
E 33.530273°		 ← 1 128.88 m → N 22.471955°
E 33.541260°		 →
↑
1 128.94 m
↓
↑
1 128.94 m
↓
N 22.461802°
E 33.530273°		 ← 1 128.96 m →
1 274 482 m²		 N 22.461802°
E 33.541260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593154907226562 y=0.435928344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593154907226562 × 215)
    floor (0.593154907226562 × 32768)
    floor (19436.5)     		tx = 19436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435928344726562 × 215)
    floor (0.435928344726562 × 32768)
    floor (14284.5)     		ty = 14284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19436 / 14284 ti = "15/19436/14284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19436/14284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19436 ÷ 215
    19436 ÷ 32768     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14284 ÷ 215
    14284 ÷ 32768     		y = 0.4359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    0.128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.402669956808472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402669956808472))-π/2
    2×atan(1.49581312724783)-π/2
    2×0.981502961151346-π/2
    1.96300592230269-1.57079632675     		φ = 0.39220960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39220960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.471955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19436 KachelY 14284 0.58521367 0.39220960 33.530273 22.471955
    Oben rechts KachelX + 1 19437 KachelY 14284 0.58540542 0.39220960 33.541260 22.471955
    Unten links KachelX 19436 KachelY + 1 14285 0.58521367 0.39203240 33.530273 22.461802
    Unten rechts KachelX + 1 19437 KachelY + 1 14285 0.58540542 0.39203240 33.541260 22.461802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39220960-0.39203240) × R
    0.000177199999999988 × 6371000     		dl = 1128.94119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39220960-0.39203240) × R
    0.000177199999999988 × 6371000     		dr = 1128.94119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58540542) × cos(0.39220960) × R
    0.000191749999999935 × 0.92406673836313 × 6371000     		do = 1128.8761972035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58540542) × cos(0.39203240) × R
    0.000191749999999935 × 0.924134455217337 × 6371000     		du = 1128.95892277048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39220960)-sin(0.39203240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92406673836313-0.924134455217337)×R²
    abs(0.58540542-0.58521367)×6.77168542062567e-05×R²
    0.000191749999999935×6.77168542062567e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.77168542062567e-05×40589641000000     		ar = 1274481.54820746m²