Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19435 / 14349
↖ ↑ ↗
← N 21.810508°
E 33.519287°		 ← 1 134.19 m → N 21.810508°
E 33.530273°		 →
↑
1 134.23 m
↓
↑
1 134.23 m
↓
N 21.800308°
E 33.519287°		 ← 1 134.27 m →
1 286 479 m²		 N 21.800308°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593124389648438 y=0.437911987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593124389648438 × 215)
    floor (0.593124389648438 × 32768)
    floor (19435.5)     		tx = 19435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437911987304688 × 215)
    floor (0.437911987304688 × 32768)
    floor (14349.5)     		ty = 14349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19435 / 14349 ti = "15/19435/14349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19435/14349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19435 ÷ 215
    19435 ÷ 32768     		x = 0.593109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14349 ÷ 215
    14349 ÷ 32768     		y = 0.437896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593109130859375 × 2 - 1) × π
    0.18621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58502192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437896728515625 × 2 - 1) × π
    0.12420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.390206362907257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58502192} λ = 0.58502192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390206362907257))-π/2
    2×atan(1.47728561938449)-π/2
    2×0.97573075421401-π/2
    1.95146150842802-1.57079632675     		φ = 0.38066518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58502192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38066518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.810508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19435 KachelY 14349 0.58502192 0.38066518 33.519287 21.810508
    Oben rechts KachelX + 1 19436 KachelY 14349 0.58521367 0.38066518 33.530273 21.810508
    Unten links KachelX 19435 KachelY + 1 14350 0.58502192 0.38048715 33.519287 21.800308
    Unten rechts KachelX + 1 19436 KachelY + 1 14350 0.58521367 0.38048715 33.530273 21.800308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38066518-0.38048715) × R
    0.000178029999999996 × 6371000     		dl = 1134.22912999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38066518-0.38048715) × R
    0.000178029999999996 × 6371000     		dr = 1134.22912999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58502192-0.58521367) × cos(0.38066518) × R
    0.000191750000000046 × 0.928417701266333 × 6371000     		do = 1134.191504262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58502192-0.58521367) × cos(0.38048715) × R
    0.000191750000000046 × 0.928483831483904 × 6371000     		du = 1134.2722915314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38066518)-sin(0.38048715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928417701266333-0.928483831483904)×R²
    abs(0.58521367-0.58502192)×6.61302175708478e-05×R²
    0.000191750000000046×6.61302175708478e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.61302175708478e-05×40589641000000     		ar = 1286478.86216767m²