Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19435 / 14307
↖ ↑ ↗
← N 22.238260°
E 33.519287°		 ← 1 130.77 m → N 22.238260°
E 33.530273°		 →
↑
1 130.85 m
↓
↑
1 130.85 m
↓
N 22.228090°
E 33.519287°		 ← 1 130.85 m →
1 278 782 m²		 N 22.228090°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593124389648438 y=0.436630249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593124389648438 × 215)
    floor (0.593124389648438 × 32768)
    floor (19435.5)     		tx = 19435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436630249023438 × 215)
    floor (0.436630249023438 × 32768)
    floor (14307.5)     		ty = 14307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19435 / 14307 ti = "15/19435/14307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19435/14307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19435 ÷ 215
    19435 ÷ 32768     		x = 0.593109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14307 ÷ 215
    14307 ÷ 32768     		y = 0.436614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593109130859375 × 2 - 1) × π
    0.18621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58502192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436614990234375 × 2 - 1) × π
    0.12677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398259762043427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58502192} λ = 0.58502192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398259762043427))-π/2
    2×atan(1.48923082531004)-π/2
    2×0.97946359123479-π/2
    1.95892718246958-1.57079632675     		φ = 0.38813086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58502192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38813086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.238260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19435 KachelY 14307 0.58502192 0.38813086 33.519287 22.238260
    Oben rechts KachelX + 1 19436 KachelY 14307 0.58521367 0.38813086 33.530273 22.238260
    Unten links KachelX 19435 KachelY + 1 14308 0.58502192 0.38795336 33.519287 22.228090
    Unten rechts KachelX + 1 19436 KachelY + 1 14308 0.58521367 0.38795336 33.530273 22.228090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38813086-0.38795336) × R
    0.000177499999999997 × 6371000     		dl = 1130.85249999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38813086-0.38795336) × R
    0.000177499999999997 × 6371000     		dr = 1130.85249999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58502192-0.58521367) × cos(0.38813086) × R
    0.000191750000000046 × 0.925618069148094 × 6371000     		do = 1130.7713637808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58502192-0.58521367) × cos(0.38795336) × R
    0.000191750000000046 × 0.925685231033092 × 6371000     		du = 1130.85341137562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38813086)-sin(0.38795336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925618069148094-0.925685231033092)×R²
    abs(0.58521367-0.58502192)×6.71618849980016e-05×R²
    0.000191750000000046×6.71618849980016e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.71618849980016e-05×40589641000000     		ar = 1278782.01888111m²