Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19434 / 14303
↖ ↑ ↗
← N 22.278930°
E 33.508301°		 ← 1 130.38 m → N 22.278930°
E 33.519287°		 →
↑
1 130.47 m
↓
↑
1 130.47 m
↓
N 22.268764°
E 33.508301°		 ← 1 130.47 m →
1 277 912 m²		 N 22.268764°
E 33.519287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593093872070312 y=0.436508178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593093872070312 × 215)
    floor (0.593093872070312 × 32768)
    floor (19434.5)     		tx = 19434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436508178710938 × 215)
    floor (0.436508178710938 × 32768)
    floor (14303.5)     		ty = 14303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19434 / 14303 ti = "15/19434/14303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19434/14303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19434 ÷ 215
    19434 ÷ 32768     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14303 ÷ 215
    14303 ÷ 32768     		y = 0.436492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436492919921875 × 2 - 1) × π
    0.12701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.399026752437347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399026752437347))-π/2
    2×atan(1.49037348919748)-π/2
    2×0.97981850977497-π/2
    1.95963701954994-1.57079632675     		φ = 0.38884069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38884069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.278930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19434 KachelY 14303 0.58483018 0.38884069 33.508301 22.278930
    Oben rechts KachelX + 1 19435 KachelY 14303 0.58502192 0.38884069 33.519287 22.278930
    Unten links KachelX 19434 KachelY + 1 14304 0.58483018 0.38866325 33.508301 22.268764
    Unten rechts KachelX + 1 19435 KachelY + 1 14304 0.58502192 0.38866325 33.519287 22.268764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38884069-0.38866325) × R
    0.000177439999999973 × 6371000     		dl = 1130.47023999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38884069-0.38866325) × R
    0.000177439999999973 × 6371000     		dr = 1130.47023999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58502192) × cos(0.38884069) × R
    0.000191739999999996 × 0.925349194451451 × 6371000     		do = 1130.38394190057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58502192) × cos(0.38866325) × R
    0.000191739999999996 × 0.925416450209737 × 6371000     		du = 1130.46609988982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38884069)-sin(0.38866325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925349194451451-0.925416450209737)×R²
    abs(0.58502192-0.58483018)×6.72557582855893e-05×R²
    0.000191739999999996×6.72557582855893e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.72557582855893e-05×40589641000000     		ar = 1277911.84802621m²