Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19433 / 14311
↖ ↑ ↗
← N 22.197577°
E 33.497315°		 ← 1 131.10 m → N 22.197577°
E 33.508301°		 →
↑
1 131.11 m
↓
↑
1 131.11 m
↓
N 22.187405°
E 33.497315°		 ← 1 131.18 m →
1 279 441 m²		 N 22.187405°
E 33.508301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593063354492188 y=0.436752319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593063354492188 × 215)
    floor (0.593063354492188 × 32768)
    floor (19433.5)     		tx = 19433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436752319335938 × 215)
    floor (0.436752319335938 × 32768)
    floor (14311.5)     		ty = 14311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19433 / 14311 ti = "15/19433/14311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19433/14311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19433 ÷ 215
    19433 ÷ 32768     		x = 0.593048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14311 ÷ 215
    14311 ÷ 32768     		y = 0.436737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593048095703125 × 2 - 1) × π
    0.18609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58463843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    0.12652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.397492771649506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58463843} λ = 0.58463843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397492771649506))-π/2
    2×atan(1.48808903749881)-π/2
    2×0.979108569655906-π/2
    1.95821713931181-1.57079632675     		φ = 0.38742081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58463843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.497315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38742081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.197577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19433 KachelY 14311 0.58463843 0.38742081 33.497315 22.197577
    Oben rechts KachelX + 1 19434 KachelY 14311 0.58483018 0.38742081 33.508301 22.197577
    Unten links KachelX 19433 KachelY + 1 14312 0.58463843 0.38724327 33.497315 22.187405
    Unten rechts KachelX + 1 19434 KachelY + 1 14312 0.58483018 0.38724327 33.508301 22.187405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38742081-0.38724327) × R
    0.000177540000000032 × 6371000     		dl = 1131.1073400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38742081-0.38724327) × R
    0.000177540000000032 × 6371000     		dr = 1131.1073400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58463843-0.58483018) × cos(0.38742081) × R
    0.000191749999999935 × 0.925886560580488 × 6371000     		do = 1131.09936345224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58463843-0.58483018) × cos(0.38724327) × R
    0.000191749999999935 × 0.925953620890592 × 6371000     		du = 1131.18128695918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38742081)-sin(0.38724327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925886560580488-0.925953620890592)×R²
    abs(0.58483018-0.58463843)×6.70603101032841e-05×R²
    0.000191749999999935×6.70603101032841e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.70603101032841e-05×40589641000000     		ar = 1279441.12777097m²