Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19432 / 14776
↖ ↑ ↗
← N 17.392579°
E 33.486328°		 ← 1 165.78 m → N 17.392579°
E 33.497315°		 →
↑
1 165.77 m
↓
↑
1 165.77 m
↓
N 17.382095°
E 33.486328°		 ← 1 165.85 m →
1 359 071 m²		 N 17.382095°
E 33.497315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593032836914062 y=0.450942993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593032836914062 × 215)
    floor (0.593032836914062 × 32768)
    floor (19432.5)     		tx = 19432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450942993164062 × 215)
    floor (0.450942993164062 × 32768)
    floor (14776.5)     		ty = 14776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19432 / 14776 ti = "15/19432/14776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19432/14776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19432 ÷ 215
    19432 ÷ 32768     		x = 0.593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14776 ÷ 215
    14776 ÷ 32768     		y = 0.450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    0.09814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.308330138356201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58444668} λ = 0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308330138356201))-π/2
    2×atan(1.36115028268539)-π/2
    2×0.93717705024028-π/2
    1.87435410048056-1.57079632675     		φ = 0.30355777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30355777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.392579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19432 KachelY 14776 0.58444668 0.30355777 33.486328 17.392579
    Oben rechts KachelX + 1 19433 KachelY 14776 0.58463843 0.30355777 33.497315 17.392579
    Unten links KachelX 19432 KachelY + 1 14777 0.58444668 0.30337479 33.486328 17.382095
    Unten rechts KachelX + 1 19433 KachelY + 1 14777 0.58463843 0.30337479 33.497315 17.382095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30355777-0.30337479) × R
    0.000182979999999999 × 6371000     		dl = 1165.76558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30355777-0.30337479) × R
    0.000182979999999999 × 6371000     		dr = 1165.76558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58444668-0.58463843) × cos(0.30355777) × R
    0.000191750000000046 × 0.954279052229955 × 6371000     		do = 1165.78474565719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58444668-0.58463843) × cos(0.30337479) × R
    0.000191750000000046 × 0.954333732122867 × 6371000     		du = 1165.85154476056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30355777)-sin(0.30337479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954279052229955-0.954333732122867)×R²
    abs(0.58463843-0.58444668)×5.46798929115244e-05×R²
    0.000191750000000046×5.46798929115244e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.46798929115244e-05×40589641000000     		ar = 1359070.6700162m²