Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19431 / 21097
↖ ↑ ↗
← S 45.897655°
E 33.475342°		 ← 850.19 m → S 45.897655°
E 33.486328°		 →
↑
850.15 m
↓
↑
850.15 m
↓
S 45.905300°
E 33.475342°		 ← 850.07 m →
722 736 m²		 S 45.905300°
E 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593002319335938 y=0.643844604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593002319335938 × 215)
    floor (0.593002319335938 × 32768)
    floor (19431.5)     		tx = 19431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643844604492188 × 215)
    floor (0.643844604492188 × 32768)
    floor (21097.5)     		ty = 21097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19431 / 21097 ti = "15/19431/21097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19431/21097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19431 ÷ 215
    19431 ÷ 32768     		x = 0.592987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21097 ÷ 215
    21097 ÷ 32768     		y = 0.643829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592987060546875 × 2 - 1) × π
    0.18597412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58425493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.28765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903706431637299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58425493} λ = 0.58425493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903706431637299))-π/2
    2×atan(0.405065526296798)-π/2
    2×0.384865568122807-π/2
    0.769731136245615-1.57079632675     		φ = -0.80106519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58425493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80106519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.897655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19431 KachelY 21097 0.58425493 -0.80106519 33.475342 -45.897655
    Oben rechts KachelX + 1 19432 KachelY 21097 0.58444668 -0.80106519 33.486328 -45.897655
    Unten links KachelX 19431 KachelY + 1 21098 0.58425493 -0.80119863 33.475342 -45.905300
    Unten rechts KachelX + 1 19432 KachelY + 1 21098 0.58444668 -0.80119863 33.486328 -45.905300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80106519--0.80119863) × R
    0.00013344000000004 × 6371000     		dl = 850.146240000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80106519--0.80119863) × R
    0.00013344000000004 × 6371000     		dr = 850.146240000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58425493-0.58444668) × cos(-0.80106519) × R
    0.000191750000000046 × 0.695942193705162 × 6371000     		do = 850.190299561533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58425493-0.58444668) × cos(-0.80119863) × R
    0.000191750000000046 × 0.695846364537783 × 6371000     		du = 850.073230889369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80106519)-sin(-0.80119863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695942193705162-0.695846364537783)×R²
    abs(0.58444668-0.58425493)×9.58291673781586e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58291673781586e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58291673781586e-05×40589641000000     		ar = 722736.324783634m²