Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19431 / 14760
↖ ↑ ↗
← N 17.560247°
E 33.475342°		 ← 1 164.71 m → N 17.560247°
E 33.486328°		 →
↑
1 164.75 m
↓
↑
1 164.75 m
↓
N 17.549772°
E 33.475342°		 ← 1 164.78 m →
1 356 632 m²		 N 17.549772°
E 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593002319335938 y=0.450454711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593002319335938 × 215)
    floor (0.593002319335938 × 32768)
    floor (19431.5)     		tx = 19431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450454711914062 × 215)
    floor (0.450454711914062 × 32768)
    floor (14760.5)     		ty = 14760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19431 / 14760 ti = "15/19431/14760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19431/14760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19431 ÷ 215
    19431 ÷ 32768     		x = 0.592987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14760 ÷ 215
    14760 ÷ 32768     		y = 0.450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592987060546875 × 2 - 1) × π
    0.18597412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58425493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    0.09912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311398099931885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58425493} λ = 0.58425493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311398099931885))-π/2
    2×atan(1.36533265184483)-π/2
    2×0.938640222865364-π/2
    1.87728044573073-1.57079632675     		φ = 0.30648412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58425493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30648412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.560247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19431 KachelY 14760 0.58425493 0.30648412 33.475342 17.560247
    Oben rechts KachelX + 1 19432 KachelY 14760 0.58444668 0.30648412 33.486328 17.560247
    Unten links KachelX 19431 KachelY + 1 14761 0.58425493 0.30630130 33.475342 17.549772
    Unten rechts KachelX + 1 19432 KachelY + 1 14761 0.58444668 0.30630130 33.486328 17.549772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30648412-0.30630130) × R
    0.000182820000000028 × 6371000     		dl = 1164.74622000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30648412-0.30630130) × R
    0.000182820000000028 × 6371000     		dr = 1164.74622000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58425493-0.58444668) × cos(0.30648412) × R
    0.000191750000000046 × 0.95340023114688 × 6371000     		do = 1164.71114332838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58425493-0.58444668) × cos(0.30630130) × R
    0.000191750000000046 × 0.953455373555746 × 6371000     		du = 1164.77850745939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30648412)-sin(0.30630130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95340023114688-0.953455373555746)×R²
    abs(0.58444668-0.58425493)×5.51424088666153e-05×R²
    0.000191750000000046×5.51424088666153e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.51424088666153e-05×40589641000000     		ar = 1356632.13642088m²