Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19431 / 14315
↖ ↑ ↗
← N 22.156883°
E 33.475342°		 ← 1 131.43 m → N 22.156883°
E 33.486328°		 →
↑
1 131.43 m
↓
↑
1 131.43 m
↓
N 22.146708°
E 33.475342°		 ← 1 131.51 m →
1 280 172 m²		 N 22.146708°
E 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593002319335938 y=0.436874389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593002319335938 × 215)
    floor (0.593002319335938 × 32768)
    floor (19431.5)     		tx = 19431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436874389648438 × 215)
    floor (0.436874389648438 × 32768)
    floor (14315.5)     		ty = 14315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19431 / 14315 ti = "15/19431/14315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19431/14315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19431 ÷ 215
    19431 ÷ 32768     		x = 0.592987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14315 ÷ 215
    14315 ÷ 32768     		y = 0.436859130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592987060546875 × 2 - 1) × π
    0.18597412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58425493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436859130859375 × 2 - 1) × π
    0.12628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396725781255585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58425493} λ = 0.58425493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396725781255585))-π/2
    2×atan(1.48694812509211)-π/2
    2×0.978753445187444-π/2
    1.95750689037489-1.57079632675     		φ = 0.38671056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58425493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38671056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.156883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19431 KachelY 14315 0.58425493 0.38671056 33.475342 22.156883
    Oben rechts KachelX + 1 19432 KachelY 14315 0.58444668 0.38671056 33.486328 22.156883
    Unten links KachelX 19431 KachelY + 1 14316 0.58425493 0.38653297 33.475342 22.146708
    Unten rechts KachelX + 1 19432 KachelY + 1 14316 0.58444668 0.38653297 33.486328 22.146708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38671056-0.38653297) × R
    0.000177590000000005 × 6371000     		dl = 1131.42589000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38671056-0.38653297) × R
    0.000177590000000005 × 6371000     		dr = 1131.42589000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58425493-0.58444668) × cos(0.38671056) × R
    0.000191750000000046 × 0.926154660636551 × 6371000     		do = 1131.42688500431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58425493-0.58444668) × cos(0.38653297) × R
    0.000191750000000046 × 0.926221623022251 × 6371000     		du = 1131.50868888296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38671056)-sin(0.38653297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926154660636551-0.926221623022251)×R²
    abs(0.58444668-0.58425493)×6.69623856993651e-05×R²
    0.000191750000000046×6.69623856993651e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.69623856993651e-05×40589641000000     		ar = 1280171.9512138m²