Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1943 / 1221
↖ ↑ ↗
← N 58.585436°
W  9.228515°		 ← 5 093.94 m → N 58.585436°
W  9.140625°		 →
↑
5 097.31 m
↓
↑
5 097.31 m
↓
N 58.539595°
W  9.228515°		 ← 5 100.61 m →
25 982 396 m²		 N 58.539595°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4744873046875 y=0.2982177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4744873046875 × 212)
    floor (0.4744873046875 × 4096)
    floor (1943.5)     		tx = 1943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2982177734375 × 212)
    floor (0.2982177734375 × 4096)
    floor (1221.5)     		ty = 1221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1943 / 1221 ti = "12/1943/1221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1943/1221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1943 ÷ 212
    1943 ÷ 4096     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1221 ÷ 212
    1221 ÷ 4096     		y = 0.298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298095703125 × 2 - 1) × π
    0.40380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26860211154517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26860211154517))-π/2
    2×atan(3.55587836516565)-π/2
    2×1.29665253665141-π/2
    2.59330507330282-1.57079632675     		φ = 1.02250875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02250875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.585436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1943 KachelY 1221 -0.16106798 1.02250875 -9.228515 58.585436
    Oben rechts KachelX + 1 1944 KachelY 1221 -0.15953400 1.02250875 -9.140625 58.585436
    Unten links KachelX 1943 KachelY + 1 1222 -0.16106798 1.02170867 -9.228515 58.539595
    Unten rechts KachelX + 1 1944 KachelY + 1 1222 -0.15953400 1.02170867 -9.140625 58.539595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02250875-1.02170867) × R
    0.000800080000000092 × 6371000     		dl = 5097.30968000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02250875-1.02170867) × R
    0.000800080000000092 × 6371000     		dr = 5097.30968000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.15953400) × cos(1.02250875) × R
    0.00153397999999999 × 0.521226580507597 × 6371000     		do = 5093.94037644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.15953400) × cos(1.02170867) × R
    0.00153397999999999 × 0.521909216549075 × 6371000     		du = 5100.61176931239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02250875)-sin(1.02170867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521226580507597-0.521909216549075)×R²
    abs(-0.15953400--0.16106798)×0.00068263604147778×R²
    0.00153397999999999×0.00068263604147778×6371000²
    0.00153397999999999×0.00068263604147778×40589641000000     		ar = 25982396.0539134m²