Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1943 / 1190
↖ ↑ ↗
← N 59.977005°
W  9.228515°		 ← 4 889.89 m → N 59.977005°
W  9.140625°		 →
↑
4 893.12 m
↓
↑
4 893.12 m
↓
N 59.933001°
W  9.228515°		 ← 4 896.39 m →
23 942 710 m²		 N 59.933001°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4744873046875 y=0.2906494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4744873046875 × 212)
    floor (0.4744873046875 × 4096)
    floor (1943.5)     		tx = 1943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2906494140625 × 212)
    floor (0.2906494140625 × 4096)
    floor (1190.5)     		ty = 1190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1943 / 1190 ti = "12/1943/1190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1943/1190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1943 ÷ 212
    1943 ÷ 4096     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1190 ÷ 212
    1190 ÷ 4096     		y = 0.29052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29052734375 × 2 - 1) × π
    0.4189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31615551596826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31615551596826))-π/2
    2×atan(3.72905748212625)-π/2
    2×1.30879627405081-π/2
    2.61759254810162-1.57079632675     		φ = 1.04679622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04679622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.977005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1943 KachelY 1190 -0.16106798 1.04679622 -9.228515 59.977005
    Oben rechts KachelX + 1 1944 KachelY 1190 -0.15953400 1.04679622 -9.140625 59.977005
    Unten links KachelX 1943 KachelY + 1 1191 -0.16106798 1.04602819 -9.228515 59.933001
    Unten rechts KachelX + 1 1944 KachelY + 1 1191 -0.15953400 1.04602819 -9.140625 59.933001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04679622-1.04602819) × R
    0.000768030000000142 × 6371000     		dl = 4893.1191300009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04679622-1.04602819) × R
    0.000768030000000142 × 6371000     		dr = 4893.1191300009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.15953400) × cos(1.04679622) × R
    0.00153397999999999 × 0.500347522735573 × 6371000     		do = 4889.88962503097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.15953400) × cos(1.04602819) × R
    0.00153397999999999 × 0.501012354420296 × 6371000     		du = 4896.38701616373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04679622)-sin(1.04602819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.500347522735573-0.501012354420296)×R²
    abs(-0.15953400--0.16106798)×0.000664831684723088×R²
    0.00153397999999999×0.000664831684723088×6371000²
    0.00153397999999999×0.000664831684723088×40589641000000     		ar = 23942709.899183m²