Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1943 / 1095
↖ ↑ ↗
← N 63.898731°
W  9.228515°		 ← 4 299.71 m → N 63.898731°
W  9.140625°		 →
↑
4 302.65 m
↓
↑
4 302.65 m
↓
N 63.860036°
W  9.228515°		 ← 4 305.64 m →
18 512 935 m²		 N 63.860036°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4744873046875 y=0.2674560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4744873046875 × 212)
    floor (0.4744873046875 × 4096)
    floor (1943.5)     		tx = 1943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2674560546875 × 212)
    floor (0.2674560546875 × 4096)
    floor (1095.5)     		ty = 1095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1943 / 1095 ti = "12/1943/1095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1943/1095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1943 ÷ 212
    1943 ÷ 4096     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1095 ÷ 212
    1095 ÷ 4096     		y = 0.267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46188369081323))-π/2
    2×atan(4.31407826894881)-π/2
    2×1.34301978367404-π/2
    2.68603956734808-1.57079632675     		φ = 1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1943 KachelY 1095 -0.16106798 1.11524324 -9.228515 63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 1944 KachelY 1095 -0.15953400 1.11524324 -9.140625 63.898731
    Unten links KachelX 1943 KachelY + 1 1096 -0.16106798 1.11456789 -9.228515 63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 1944 KachelY + 1 1096 -0.15953400 1.11456789 -9.140625 63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11524324-1.11456789) × R
    0.000675350000000075 × 6371000     		dl = 4302.65485000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11524324-1.11456789) × R
    0.000675350000000075 × 6371000     		dr = 4302.65485000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.15953400) × cos(1.11524324) × R
    0.00153397999999999 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 4299.71401724354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.15953400) × cos(1.11456789) × R
    0.00153397999999999 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 4305.64012139481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11524324)-sin(1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.44056543883997)×R²
    abs(-0.15953400--0.16106798)×0.000606375963249028×R²
    0.00153397999999999×0.000606375963249028×6371000²
    0.00153397999999999×0.000606375963249028×40589641000000     		ar = 18512935.0639295m²