Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19429 / 21166
↖ ↑ ↗
← S 46.422712°
E 33.453369°		 ← 842.07 m → S 46.422712°
E 33.464355°		 →
↑
842.06 m
↓
↑
842.06 m
↓
S 46.430285°
E 33.453369°		 ← 841.95 m →
709 021 m²		 S 46.430285°
E 33.464355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592941284179688 y=0.645950317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592941284179688 × 215)
    floor (0.592941284179688 × 32768)
    floor (19429.5)     		tx = 19429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645950317382812 × 215)
    floor (0.645950317382812 × 32768)
    floor (21166.5)     		ty = 21166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19429 / 21166 ti = "15/19429/21166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19429/21166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19429 ÷ 215
    19429 ÷ 32768     		x = 0.592926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21166 ÷ 215
    21166 ÷ 32768     		y = 0.64593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592926025390625 × 2 - 1) × π
    0.18585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58387144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2918701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.916937015932434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58387144} λ = 0.58387144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916937015932434))-π/2
    2×atan(0.399741569895312)-π/2
    2×0.380283572688089-π/2
    0.760567145376178-1.57079632675     		φ = -0.81022918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58387144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.453369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81022918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.422712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19429 KachelY 21166 0.58387144 -0.81022918 33.453369 -46.422712
    Oben rechts KachelX + 1 19430 KachelY 21166 0.58406318 -0.81022918 33.464355 -46.422712
    Unten links KachelX 19429 KachelY + 1 21167 0.58387144 -0.81036135 33.453369 -46.430285
    Unten rechts KachelX + 1 19430 KachelY + 1 21167 0.58406318 -0.81036135 33.464355 -46.430285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81022918--0.81036135) × R
    0.000132169999999987 × 6371000     		dl = 842.055069999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81022918--0.81036135) × R
    0.000132169999999987 × 6371000     		dr = 842.055069999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58387144-0.58406318) × cos(-0.81022918) × R
    0.000191739999999996 × 0.689332422711152 × 6371000     		do = 842.071626512865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58387144-0.58406318) × cos(-0.81036135) × R
    0.000191739999999996 × 0.689236666771762 × 6371000     		du = 841.954653399496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81022918)-sin(-0.81036135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689332422711152-0.689236666771762)×R²
    abs(0.58406318-0.58387144)×9.5755939390485e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5755939390485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5755939390485e-05×40589641000000     		ar = 709021.434538591m²