Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19429 / 14768
↖ ↑ ↗
← N 17.476432°
E 33.453369°		 ← 1 165.19 m → N 17.476432°
E 33.464355°		 →
↑
1 165.26 m
↓
↑
1 165.26 m
↓
N 17.465953°
E 33.453369°		 ← 1 165.26 m →
1 357 782 m²		 N 17.465953°
E 33.464355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592941284179688 y=0.450698852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592941284179688 × 215)
    floor (0.592941284179688 × 32768)
    floor (19429.5)     		tx = 19429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450698852539062 × 215)
    floor (0.450698852539062 × 32768)
    floor (14768.5)     		ty = 14768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19429 / 14768 ti = "15/19429/14768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19429/14768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19429 ÷ 215
    19429 ÷ 32768     		x = 0.592926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14768 ÷ 215
    14768 ÷ 32768     		y = 0.45068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592926025390625 × 2 - 1) × π
    0.18585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58387144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45068359375 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.309864119144043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58387144} λ = 0.58387144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309864119144043))-π/2
    2×atan(1.36323986334694)-π/2
    2×0.937908805064529-π/2
    1.87581761012906-1.57079632675     		φ = 0.30502128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58387144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.453369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30502128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.476432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19429 KachelY 14768 0.58387144 0.30502128 33.453369 17.476432
    Oben rechts KachelX + 1 19430 KachelY 14768 0.58406318 0.30502128 33.464355 17.476432
    Unten links KachelX 19429 KachelY + 1 14769 0.58387144 0.30483838 33.453369 17.465953
    Unten rechts KachelX + 1 19430 KachelY + 1 14769 0.58406318 0.30483838 33.464355 17.465953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30502128-0.30483838) × R
    0.000182899999999986 × 6371000     		dl = 1165.25589999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30502128-0.30483838) × R
    0.000182899999999986 × 6371000     		dr = 1165.25589999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58387144-0.58406318) × cos(0.30502128) × R
    0.000191739999999996 × 0.95384056211299 × 6371000     		do = 1165.18829973705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58387144-0.58406318) × cos(0.30483838) × R
    0.000191739999999996 × 0.953895473492763 × 6371000     		du = 1165.25537813545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30502128)-sin(0.30483838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95384056211299-0.953895473492763)×R²
    abs(0.58406318-0.58387144)×5.49113797735368e-05×R²
    0.000191739999999996×5.49113797735368e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.49113797735368e-05×40589641000000     		ar = 1357781.62641439m²