Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19428 / 14324
↖ ↑ ↗
← N 22.065278°
E 33.442383°		 ← 1 132.16 m → N 22.065278°
E 33.453369°		 →
↑
1 132.19 m
↓
↑
1 132.19 m
↓
N 22.055096°
E 33.442383°		 ← 1 132.24 m →
1 281 869 m²		 N 22.055096°
E 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592910766601562 y=0.437149047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592910766601562 × 215)
    floor (0.592910766601562 × 32768)
    floor (19428.5)     		tx = 19428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437149047851562 × 215)
    floor (0.437149047851562 × 32768)
    floor (14324.5)     		ty = 14324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19428 / 14324 ti = "15/19428/14324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19428/14324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19428 ÷ 215
    19428 ÷ 32768     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14324 ÷ 215
    14324 ÷ 32768     		y = 0.4371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4371337890625 × 2 - 1) × π
    0.125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.395000052869263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395000052869263))-π/2
    2×atan(1.48438426939921)-π/2
    2×0.97795403971752-π/2
    1.95590807943504-1.57079632675     		φ = 0.38511175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38511175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.065278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19428 KachelY 14324 0.58367969 0.38511175 33.442383 22.065278
    Oben rechts KachelX + 1 19429 KachelY 14324 0.58387144 0.38511175 33.453369 22.065278
    Unten links KachelX 19428 KachelY + 1 14325 0.58367969 0.38493404 33.442383 22.055096
    Unten rechts KachelX + 1 19429 KachelY + 1 14325 0.58387144 0.38493404 33.453369 22.055096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38511175-0.38493404) × R
    0.000177709999999998 × 6371000     		dl = 1132.19040999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38511175-0.38493404) × R
    0.000177709999999998 × 6371000     		dr = 1132.19040999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58387144) × cos(0.38511175) × R
    0.000191750000000046 × 0.926756458152782 × 6371000     		do = 1132.16206447069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58387144) × cos(0.38493404) × R
    0.000191750000000046 × 0.926823202537706 × 6371000     		du = 1132.24360203103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38511175)-sin(0.38493404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926756458152782-0.926823202537706)×R²
    abs(0.58387144-0.58367969)×6.67443849234894e-05×R²
    0.000191750000000046×6.67443849234894e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.67443849234894e-05×40589641000000     		ar = 1281869.19335509m²