Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19427 / 14325
↖ ↑ ↗
← N 22.055096°
E 33.431396°		 ← 1 132.24 m → N 22.055096°
E 33.442383°		 →
↑
1 132.25 m
↓
↑
1 132.25 m
↓
N 22.044913°
E 33.431396°		 ← 1 132.33 m →
1 282 034 m²		 N 22.044913°
E 33.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592880249023438 y=0.437179565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592880249023438 × 215)
    floor (0.592880249023438 × 32768)
    floor (19427.5)     		tx = 19427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437179565429688 × 215)
    floor (0.437179565429688 × 32768)
    floor (14325.5)     		ty = 14325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19427 / 14325 ti = "15/19427/14325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19427/14325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19427 ÷ 215
    19427 ÷ 32768     		x = 0.592864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14325 ÷ 215
    14325 ÷ 32768     		y = 0.437164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592864990234375 × 2 - 1) × π
    0.18572998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58348794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437164306640625 × 2 - 1) × π
    0.12567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.394808305270782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58348794} λ = 0.58348794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394808305270782))-π/2
    2×atan(1.48409966956687)-π/2
    2×0.977865184855292-π/2
    1.95573036971058-1.57079632675     		φ = 0.38493404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58348794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.431396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38493404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.055096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19427 KachelY 14325 0.58348794 0.38493404 33.431396 22.055096
    Oben rechts KachelX + 1 19428 KachelY 14325 0.58367969 0.38493404 33.442383 22.055096
    Unten links KachelX 19427 KachelY + 1 14326 0.58348794 0.38475632 33.431396 22.044913
    Unten rechts KachelX + 1 19428 KachelY + 1 14326 0.58367969 0.38475632 33.442383 22.044913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38493404-0.38475632) × R
    0.000177719999999992 × 6371000     		dl = 1132.25411999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38493404-0.38475632) × R
    0.000177719999999992 × 6371000     		dr = 1132.25411999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58348794-0.58367969) × cos(0.38493404) × R
    0.000191749999999935 × 0.926823202537706 × 6371000     		do = 1132.24360203038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58348794-0.58367969) × cos(0.38475632) × R
    0.000191749999999935 × 0.926889921406103 × 6371000     		du = 1132.32510841873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38493404)-sin(0.38475632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926823202537706-0.926889921406103)×R²
    abs(0.58367969-0.58348794)×6.67188683973752e-05×R²
    0.000191749999999935×6.67188683973752e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.67188683973752e-05×40589641000000     		ar = 1282033.62958879m²