Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19426 / 21082
↖ ↑ ↗
← S 45.782848°
E 33.420410°		 ← 851.95 m → S 45.782848°
E 33.431396°		 →
↑
851.93 m
↓
↑
851.93 m
↓
S 45.790510°
E 33.420410°		 ← 851.83 m →
725 749 m²		 S 45.790510°
E 33.431396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592849731445312 y=0.643386840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592849731445312 × 215)
    floor (0.592849731445312 × 32768)
    floor (19426.5)     		tx = 19426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643386840820312 × 215)
    floor (0.643386840820312 × 32768)
    floor (21082.5)     		ty = 21082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19426 / 21082 ti = "15/19426/21082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19426/21082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19426 ÷ 215
    19426 ÷ 32768     		x = 0.59283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21082 ÷ 215
    21082 ÷ 32768     		y = 0.64337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    0.1856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58329619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.2867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.900830217660095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58329619} λ = 0.58329619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900830217660095))-π/2
    2×atan(0.406232258506635)-π/2
    2×0.385867441064799-π/2
    0.771734882129598-1.57079632675     		φ = -0.79906144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58329619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79906144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.782848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19426 KachelY 21082 0.58329619 -0.79906144 33.420410 -45.782848
    Oben rechts KachelX + 1 19427 KachelY 21082 0.58348794 -0.79906144 33.431396 -45.782848
    Unten links KachelX 19426 KachelY + 1 21083 0.58329619 -0.79919516 33.420410 -45.790510
    Unten rechts KachelX + 1 19427 KachelY + 1 21083 0.58348794 -0.79919516 33.431396 -45.790510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79906144--0.79919516) × R
    0.000133720000000004 × 6371000     		dl = 851.930120000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79906144--0.79919516) × R
    0.000133720000000004 × 6371000     		dr = 851.930120000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58329619-0.58348794) × cos(-0.79906144) × R
    0.000191750000000046 × 0.69737968411833 × 6371000     		do = 851.946394271758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58329619-0.58348794) × cos(-0.79919516) × R
    0.000191750000000046 × 0.697283840509089 × 6371000     		du = 851.829307956848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79906144)-sin(-0.79919516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69737968411833-0.697283840509089)×R²
    abs(0.58348794-0.58329619)×9.58436092406423e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58436092406423e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58436092406423e-05×40589641000000     		ar = 725748.920307822m²