Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19424 / 20894
↖ ↑ ↗
← S 44.323848°
E 33.398438°		 ← 873.96 m → S 44.323848°
E 33.409424°		 →
↑
873.85 m
↓
↑
873.85 m
↓
S 44.331707°
E 33.398438°		 ← 873.85 m →
763 658 m²		 S 44.331707°
E 33.409424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592788696289062 y=0.637649536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592788696289062 × 215)
    floor (0.592788696289062 × 32768)
    floor (19424.5)     		tx = 19424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637649536132812 × 215)
    floor (0.637649536132812 × 32768)
    floor (20894.5)     		ty = 20894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19424 / 20894 ti = "15/19424/20894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19424/20894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19424 ÷ 215
    19424 ÷ 32768     		x = 0.5927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20894 ÷ 215
    20894 ÷ 32768     		y = 0.63763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.864781669145813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58291270} λ = 0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864781669145813))-π/2
    2×atan(0.421143491208612)-π/2
    2×0.398599620396796-π/2
    0.797199240793592-1.57079632675     		φ = -0.77359709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77359709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.323848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19424 KachelY 20894 0.58291270 -0.77359709 33.398438 -44.323848
    Oben rechts KachelX + 1 19425 KachelY 20894 0.58310445 -0.77359709 33.409424 -44.323848
    Unten links KachelX 19424 KachelY + 1 20895 0.58291270 -0.77373425 33.398438 -44.331707
    Unten rechts KachelX + 1 19425 KachelY + 1 20895 0.58310445 -0.77373425 33.409424 -44.331707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77359709--0.77373425) × R
    0.00013715999999997 × 6371000     		dl = 873.846359999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77359709--0.77373425) × R
    0.00013715999999997 × 6371000     		dr = 873.846359999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58291270-0.58310445) × cos(-0.77359709) × R
    0.000191750000000046 × 0.715401969367119 × 6371000     		do = 873.96312530638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58291270-0.58310445) × cos(-0.77373425) × R
    0.000191750000000046 × 0.715306127146679 × 6371000     		du = 873.846040688084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77359709)-sin(-0.77373425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715401969367119-0.715306127146679)×R²
    abs(0.58310445-0.58291270)×9.5842220439124e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5842220439124e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5842220439124e-05×40589641000000     		ar = 763658.340037069m²