Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19424 / 14739
↖ ↑ ↗
← N 17.780074°
E 33.398438°		 ← 1 163.29 m → N 17.780074°
E 33.409424°		 →
↑
1 163.28 m
↓
↑
1 163.28 m
↓
N 17.769612°
E 33.398438°		 ← 1 163.36 m →
1 353 271 m²		 N 17.769612°
E 33.409424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592788696289062 y=0.449813842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592788696289062 × 215)
    floor (0.592788696289062 × 32768)
    floor (19424.5)     		tx = 19424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449813842773438 × 215)
    floor (0.449813842773438 × 32768)
    floor (14739.5)     		ty = 14739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19424 / 14739 ti = "15/19424/14739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19424/14739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19424 ÷ 215
    19424 ÷ 32768     		x = 0.5927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14739 ÷ 215
    14739 ÷ 32768     		y = 0.449798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449798583984375 × 2 - 1) × π
    0.10040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.315424799499969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58291270} λ = 0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315424799499969))-π/2
    2×atan(1.37084152007944)-π/2
    2×0.940558580772446-π/2
    1.88111716154489-1.57079632675     		φ = 0.31032083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31032083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.780074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19424 KachelY 14739 0.58291270 0.31032083 33.398438 17.780074
    Oben rechts KachelX + 1 19425 KachelY 14739 0.58310445 0.31032083 33.409424 17.780074
    Unten links KachelX 19424 KachelY + 1 14740 0.58291270 0.31013824 33.398438 17.769612
    Unten rechts KachelX + 1 19425 KachelY + 1 14740 0.58310445 0.31013824 33.409424 17.769612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31032083-0.31013824) × R
    0.000182589999999982 × 6371000     		dl = 1163.28088999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31032083-0.31013824) × R
    0.000182589999999982 × 6371000     		dr = 1163.28088999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58291270-0.58310445) × cos(0.31032083) × R
    0.000191750000000046 × 0.952235648912316 × 6371000     		do = 1163.28844396078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58291270-0.58310445) × cos(0.31013824) × R
    0.000191750000000046 × 0.952291389480257 × 6371000     		du = 1163.3565388264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31032083)-sin(0.31013824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952235648912316-0.952291389480257)×R²
    abs(0.58310445-0.58291270)×5.57405679407763e-05×R²
    0.000191750000000046×5.57405679407763e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.57405679407763e-05×40589641000000     		ar = 1353270.82690509m²