Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19423 / 20907
↖ ↑ ↗
← S 44.425934°
E 33.387451°		 ← 872.44 m → S 44.425934°
E 33.398438°		 →
↑
872.38 m
↓
↑
872.38 m
↓
S 44.433780°
E 33.387451°		 ← 872.32 m →
761 050 m²		 S 44.433780°
E 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592758178710938 y=0.638046264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592758178710938 × 215)
    floor (0.592758178710938 × 32768)
    floor (19423.5)     		tx = 19423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638046264648438 × 215)
    floor (0.638046264648438 × 32768)
    floor (20907.5)     		ty = 20907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19423 / 20907 ti = "15/19423/20907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19423/20907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19423 ÷ 215
    19423 ÷ 32768     		x = 0.592742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20907 ÷ 215
    20907 ÷ 32768     		y = 0.638031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592742919921875 × 2 - 1) × π
    0.18548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58272095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.27606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.867274387926056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58272095} λ = 0.58272095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867274387926056))-π/2
    2×atan(0.420095006250882)-π/2
    2×0.39770874894158-π/2
    0.79541749788316-1.57079632675     		φ = -0.77537883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58272095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77537883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.425934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19423 KachelY 20907 0.58272095 -0.77537883 33.387451 -44.425934
    Oben rechts KachelX + 1 19424 KachelY 20907 0.58291270 -0.77537883 33.398438 -44.425934
    Unten links KachelX 19423 KachelY + 1 20908 0.58272095 -0.77551576 33.387451 -44.433780
    Unten rechts KachelX + 1 19424 KachelY + 1 20908 0.58291270 -0.77551576 33.398438 -44.433780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77537883--0.77551576) × R
    0.000136930000000035 × 6371000     		dl = 872.381030000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77537883--0.77551576) × R
    0.000136930000000035 × 6371000     		dr = 872.381030000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58272095-0.58291270) × cos(-0.77537883) × R
    0.000191749999999935 × 0.714155909357393 × 6371000     		do = 872.440889490137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58272095-0.58291270) × cos(-0.77551576) × R
    0.000191749999999935 × 0.714060053487922 × 6371000     		du = 872.32378819765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77537883)-sin(-0.77551576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714155909357393-0.714060053487922)×R²
    abs(0.58291270-0.58272095)×9.58558694702516e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58558694702516e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58558694702516e-05×40589641000000     		ar = 761049.804503631m²