Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19422 / 14756
↖ ↑ ↗
← N 17.602139°
E 33.376465°		 ← 1 164.44 m → N 17.602139°
E 33.387451°		 →
↑
1 164.43 m
↓
↑
1 164.43 m
↓
N 17.591667°
E 33.376465°		 ← 1 164.51 m →
1 355 947 m²		 N 17.591667°
E 33.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592727661132812 y=0.450332641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592727661132812 × 215)
    floor (0.592727661132812 × 32768)
    floor (19422.5)     		tx = 19422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450332641601562 × 215)
    floor (0.450332641601562 × 32768)
    floor (14756.5)     		ty = 14756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19422 / 14756 ti = "15/19422/14756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19422/14756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19422 ÷ 215
    19422 ÷ 32768     		x = 0.59271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14756 ÷ 215
    14756 ÷ 32768     		y = 0.4503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59271240234375 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4503173828125 × 2 - 1) × π
    0.099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312165090325806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58252920} λ = 0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312165090325806))-π/2
    2×atan(1.36638025057102)-π/2
    2×0.939005804941486-π/2
    1.87801160988297-1.57079632675     		φ = 0.30721528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30721528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.602139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19422 KachelY 14756 0.58252920 0.30721528 33.376465 17.602139
    Oben rechts KachelX + 1 19423 KachelY 14756 0.58272095 0.30721528 33.387451 17.602139
    Unten links KachelX 19422 KachelY + 1 14757 0.58252920 0.30703251 33.376465 17.591667
    Unten rechts KachelX + 1 19423 KachelY + 1 14757 0.58272095 0.30703251 33.387451 17.591667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30721528-0.30703251) × R
    0.000182769999999999 × 6371000     		dl = 1164.42766999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30721528-0.30703251) × R
    0.000182769999999999 × 6371000     		dr = 1164.42766999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58252920-0.58272095) × cos(0.30721528) × R
    0.000191750000000046 × 0.953179379162112 × 6371000     		do = 1164.44134187535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58252920-0.58272095) × cos(0.30703251) × R
    0.000191750000000046 × 0.953234633890001 × 6371000     		du = 1164.50884321969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30721528)-sin(0.30703251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953179379162112-0.953234633890001)×R²
    abs(0.58272095-0.58252920)×5.52547278888094e-05×R²
    0.000191750000000046×5.52547278888094e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.52547278888094e-05×40589641000000     		ar = 1355947.02256282m²