Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19422 / 14510
↖ ↑ ↗
← N 20.159098°
E 33.376465°		 ← 1 146.80 m → N 20.159098°
E 33.387451°		 →
↑
1 146.84 m
↓
↑
1 146.84 m
↓
N 20.148785°
E 33.376465°		 ← 1 146.88 m →
1 315 245 m²		 N 20.148785°
E 33.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592727661132812 y=0.442825317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592727661132812 × 215)
    floor (0.592727661132812 × 32768)
    floor (19422.5)     		tx = 19422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442825317382812 × 215)
    floor (0.442825317382812 × 32768)
    floor (14510.5)     		ty = 14510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19422 / 14510 ti = "15/19422/14510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19422/14510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19422 ÷ 215
    19422 ÷ 32768     		x = 0.59271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14510 ÷ 215
    14510 ÷ 32768     		y = 0.44281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59271240234375 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    0.1143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359334999551941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58252920} λ = 0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359334999551941))-π/2
    2×atan(1.43237656671468)-π/2
    2×0.96131948292057-π/2
    1.92263896584114-1.57079632675     		φ = 0.35184264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35184264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.159098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19422 KachelY 14510 0.58252920 0.35184264 33.376465 20.159098
    Oben rechts KachelX + 1 19423 KachelY 14510 0.58272095 0.35184264 33.387451 20.159098
    Unten links KachelX 19422 KachelY + 1 14511 0.58252920 0.35166263 33.376465 20.148785
    Unten rechts KachelX + 1 19423 KachelY + 1 14511 0.58272095 0.35166263 33.387451 20.148785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35184264-0.35166263) × R
    0.000180010000000008 × 6371000     		dl = 1146.84371000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35184264-0.35166263) × R
    0.000180010000000008 × 6371000     		dr = 1146.84371000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58252920-0.58272095) × cos(0.35184264) × R
    0.000191750000000046 × 0.93873928125295 × 6371000     		do = 1146.80075149567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58252920-0.58272095) × cos(0.35166263) × R
    0.000191750000000046 × 0.938801302556646 × 6371000     		du = 1146.8765191546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35184264)-sin(0.35166263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93873928125295-0.938801302556646)×R²
    abs(0.58272095-0.58252920)×6.2021303696147e-05×R²
    0.000191750000000046×6.2021303696147e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.2021303696147e-05×40589641000000     		ar = 1315244.67885951m²