Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19421 / 14541
↖ ↑ ↗
← N 19.839060°
E 33.365479°		 ← 1 149.07 m → N 19.839060°
E 33.376465°		 →
↑
1 149.20 m
↓
↑
1 149.20 m
↓
N 19.828725°
E 33.365479°		 ← 1 149.15 m →
1 320 561 m²		 N 19.828725°
E 33.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592697143554688 y=0.443771362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592697143554688 × 215)
    floor (0.592697143554688 × 32768)
    floor (19421.5)     		tx = 19421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443771362304688 × 215)
    floor (0.443771362304688 × 32768)
    floor (14541.5)     		ty = 14541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19421 / 14541 ti = "15/19421/14541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19421/14541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19421 ÷ 215
    19421 ÷ 32768     		x = 0.592681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14541 ÷ 215
    14541 ÷ 32768     		y = 0.443756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592681884765625 × 2 - 1) × π
    0.18536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58233746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    0.11248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.353390823999054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58233746} λ = 0.58233746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353390823999054))-π/2
    2×atan(1.42388752411944)-π/2
    2×0.958526622224249-π/2
    1.9170532444485-1.57079632675     		φ = 0.34625692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58233746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.365479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34625692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.839060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19421 KachelY 14541 0.58233746 0.34625692 33.365479 19.839060
    Oben rechts KachelX + 1 19422 KachelY 14541 0.58252920 0.34625692 33.376465 19.839060
    Unten links KachelX 19421 KachelY + 1 14542 0.58233746 0.34607654 33.365479 19.828725
    Unten rechts KachelX + 1 19422 KachelY + 1 14542 0.58252920 0.34607654 33.376465 19.828725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34625692-0.34607654) × R
    0.000180380000000036 × 6371000     		dl = 1149.20098000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34625692-0.34607654) × R
    0.000180380000000036 × 6371000     		dr = 1149.20098000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58233746-0.58252920) × cos(0.34625692) × R
    0.000191739999999996 × 0.940649623172941 × 6371000     		do = 1149.07457137826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58233746-0.58252920) × cos(0.34607654) × R
    0.000191739999999996 × 0.94071082510174 × 6371000     		du = 1149.14933415748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34625692)-sin(0.34607654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940649623172941-0.94071082510174)×R²
    abs(0.58252920-0.58233746)×6.12019287991039e-05×R²
    0.000191739999999996×6.12019287991039e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.12019287991039e-05×40589641000000     		ar = 1320560.58583147m²