Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19417 / 21090
↖ ↑ ↗
← S 45.844108°
E 33.321533°		 ← 850.97 m → S 45.844108°
E 33.332519°		 →
↑
850.97 m
↓
↑
850.97 m
↓
S 45.851761°
E 33.321533°		 ← 850.85 m →
724 100 m²		 S 45.851761°
E 33.332519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592575073242188 y=0.643630981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592575073242188 × 215)
    floor (0.592575073242188 × 32768)
    floor (19417.5)     		tx = 19417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643630981445312 × 215)
    floor (0.643630981445312 × 32768)
    floor (21090.5)     		ty = 21090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19417 / 21090 ti = "15/19417/21090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19417/21090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19417 ÷ 215
    19417 ÷ 32768     		x = 0.592559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21090 ÷ 215
    21090 ÷ 32768     		y = 0.64361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592559814453125 × 2 - 1) × π
    0.18511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58157047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.2872314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.902364198447937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58157047} λ = 0.58157047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902364198447937))-π/2
    2×atan(0.405609583734354)-π/2
    2×0.385332851570204-π/2
    0.770665703140408-1.57079632675     		φ = -0.80013062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58157047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.321533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80013062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.844108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19417 KachelY 21090 0.58157047 -0.80013062 33.321533 -45.844108
    Oben rechts KachelX + 1 19418 KachelY 21090 0.58176221 -0.80013062 33.332519 -45.844108
    Unten links KachelX 19417 KachelY + 1 21091 0.58157047 -0.80026419 33.321533 -45.851761
    Unten rechts KachelX + 1 19418 KachelY + 1 21091 0.58176221 -0.80026419 33.332519 -45.851761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80013062--0.80026419) × R
    0.000133570000000027 × 6371000     		dl = 850.974470000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80013062--0.80026419) × R
    0.000133570000000027 × 6371000     		dr = 850.974470000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58157047-0.58176221) × cos(-0.80013062) × R
    0.000191739999999996 × 0.696613002351378 × 6371000     		do = 850.965404518388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58157047-0.58176221) × cos(-0.80026419) × R
    0.000191739999999996 × 0.696517166729921 × 6371000     		du = 850.848334067354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80013062)-sin(-0.80026419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696613002351378-0.696517166729921)×R²
    abs(0.58176221-0.58157047)×9.58356214578737e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58356214578737e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58356214578737e-05×40589641000000     		ar = 724100.023192579m²