Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19416 / 14536
↖ ↑ ↗
← N 19.890723°
E 33.310547°		 ← 1 148.76 m → N 19.890723°
E 33.321533°		 →
↑
1 148.82 m
↓
↑
1 148.82 m
↓
N 19.880392°
E 33.310547°		 ← 1 148.84 m →
1 319 760 m²		 N 19.880392°
E 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592544555664062 y=0.443618774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592544555664062 × 215)
    floor (0.592544555664062 × 32768)
    floor (19416.5)     		tx = 19416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443618774414062 × 215)
    floor (0.443618774414062 × 32768)
    floor (14536.5)     		ty = 14536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19416 / 14536 ti = "15/19416/14536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19416/14536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19416 ÷ 215
    19416 ÷ 32768     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14536 ÷ 215
    14536 ÷ 32768     		y = 0.443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.354349561991455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354349561991455))-π/2
    2×atan(1.42525331379833)-π/2
    2×0.958977467078181-π/2
    1.91795493415636-1.57079632675     		φ = 0.34715861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34715861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.890723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19416 KachelY 14536 0.58137872 0.34715861 33.310547 19.890723
    Oben rechts KachelX + 1 19417 KachelY 14536 0.58157047 0.34715861 33.321533 19.890723
    Unten links KachelX 19416 KachelY + 1 14537 0.58137872 0.34697829 33.310547 19.880392
    Unten rechts KachelX + 1 19417 KachelY + 1 14537 0.58157047 0.34697829 33.321533 19.880392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34715861-0.34697829) × R
    0.000180319999999956 × 6371000     		dl = 1148.81871999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34715861-0.34697829) × R
    0.000180319999999956 × 6371000     		dr = 1148.81871999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58157047) × cos(0.34715861) × R
    0.000191749999999935 × 0.940343225928595 × 6371000     		do = 1148.7601932656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58157047) × cos(0.34697829) × R
    0.000191749999999935 × 0.940404560427699 × 6371000     		du = 1148.83512189708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34715861)-sin(0.34697829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940343225928595-0.940404560427699)×R²
    abs(0.58157047-0.58137872)×6.13344991043929e-05×R²
    0.000191749999999935×6.13344991043929e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.13344991043929e-05×40589641000000     		ar = 1319760.25809746m²