Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19416 / 14296
↖ ↑ ↗
← N 22.350076°
E 33.310547°		 ← 1 129.87 m → N 22.350076°
E 33.321533°		 →
↑
1 129.90 m
↓
↑
1 129.90 m
↓
N 22.339914°
E 33.310547°		 ← 1 129.95 m →
1 276 680 m²		 N 22.339914°
E 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592544555664062 y=0.436294555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592544555664062 × 215)
    floor (0.592544555664062 × 32768)
    floor (19416.5)     		tx = 19416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436294555664062 × 215)
    floor (0.436294555664062 × 32768)
    floor (14296.5)     		ty = 14296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19416 / 14296 ti = "15/19416/14296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19416/14296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19416 ÷ 215
    19416 ÷ 32768     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14296 ÷ 215
    14296 ÷ 32768     		y = 0.436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    0.12744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.400368985626709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400368985626709))-π/2
    2×atan(1.49237526108102)-π/2
    2×0.980439368835759-π/2
    1.96087873767152-1.57079632675     		φ = 0.39008241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39008241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.350076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19416 KachelY 14296 0.58137872 0.39008241 33.310547 22.350076
    Oben rechts KachelX + 1 19417 KachelY 14296 0.58157047 0.39008241 33.321533 22.350076
    Unten links KachelX 19416 KachelY + 1 14297 0.58137872 0.38990506 33.310547 22.339914
    Unten rechts KachelX + 1 19417 KachelY + 1 14297 0.58157047 0.38990506 33.321533 22.339914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39008241-0.38990506) × R
    0.000177349999999965 × 6371000     		dl = 1129.89684999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39008241-0.38990506) × R
    0.000177349999999965 × 6371000     		dr = 1129.89684999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58157047) × cos(0.39008241) × R
    0.000191749999999935 × 0.924877725389341 × 6371000     		do = 1129.86693078596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58157047) × cos(0.38990506) × R
    0.000191749999999935 × 0.924945150777009 × 6371000     		du = 1129.94930028598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39008241)-sin(0.38990506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924877725389341-0.924945150777009)×R²
    abs(0.58157047-0.58137872)×6.74253876680186e-05×R²
    0.000191749999999935×6.74253876680186e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.74253876680186e-05×40589641000000     		ar = 1276679.62387941m²