Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19415 / 14505
↖ ↑ ↗
← N 20.210657°
E 33.299560°		 ← 1 146.42 m → N 20.210657°
E 33.310547°		 →
↑
1 146.46 m
↓
↑
1 146.46 m
↓
N 20.200346°
E 33.299560°		 ← 1 146.50 m →
1 314 372 m²		 N 20.200346°
E 33.310547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592514038085938 y=0.442672729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592514038085938 × 215)
    floor (0.592514038085938 × 32768)
    floor (19415.5)     		tx = 19415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442672729492188 × 215)
    floor (0.442672729492188 × 32768)
    floor (14505.5)     		ty = 14505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19415 / 14505 ti = "15/19415/14505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19415/14505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19415 ÷ 215
    19415 ÷ 32768     		x = 0.592498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14505 ÷ 215
    14505 ÷ 32768     		y = 0.442657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592498779296875 × 2 - 1) × π
    0.18499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58118697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442657470703125 × 2 - 1) × π
    0.11468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360293737544342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58118697} λ = 0.58118697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360293737544342))-π/2
    2×atan(1.43375049906394)-π/2
    2×0.9617694110329-π/2
    1.9235388220658-1.57079632675     		φ = 0.35274250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58118697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.299560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35274250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.210657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19415 KachelY 14505 0.58118697 0.35274250 33.299560 20.210657
    Oben rechts KachelX + 1 19416 KachelY 14505 0.58137872 0.35274250 33.310547 20.210657
    Unten links KachelX 19415 KachelY + 1 14506 0.58118697 0.35256255 33.299560 20.200346
    Unten rechts KachelX + 1 19416 KachelY + 1 14506 0.58137872 0.35256255 33.310547 20.200346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35274250-0.35256255) × R
    0.00017995000000004 × 6371000     		dl = 1146.46145000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35274250-0.35256255) × R
    0.00017995000000004 × 6371000     		dr = 1146.46145000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58118697-0.58137872) × cos(0.35274250) × R
    0.000191750000000046 × 0.938428784136554 × 6371000     		do = 1146.42143603127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58118697-0.58137872) × cos(0.35256255) × R
    0.000191750000000046 × 0.938490936762467 × 6371000     		du = 1146.49736411857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35274250)-sin(0.35256255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938428784136554-0.938490936762467)×R²
    abs(0.58137872-0.58118697)×6.21526259125815e-05×R²
    0.000191750000000046×6.21526259125815e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.21526259125815e-05×40589641000000     		ar = 1314371.50972283m²