Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19415 / 14329
↖ ↑ ↗
← N 22.014361°
E 33.299560°		 ← 1 132.57 m → N 22.014361°
E 33.310547°		 →
↑
1 132.64 m
↓
↑
1 132.64 m
↓
N 22.004175°
E 33.299560°		 ← 1 132.65 m →
1 282 835 m²		 N 22.004175°
E 33.310547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592514038085938 y=0.437301635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592514038085938 × 215)
    floor (0.592514038085938 × 32768)
    floor (19415.5)     		tx = 19415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437301635742188 × 215)
    floor (0.437301635742188 × 32768)
    floor (14329.5)     		ty = 14329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19415 / 14329 ti = "15/19415/14329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19415/14329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19415 ÷ 215
    19415 ÷ 32768     		x = 0.592498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14329 ÷ 215
    14329 ÷ 32768     		y = 0.437286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592498779296875 × 2 - 1) × π
    0.18499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58118697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437286376953125 × 2 - 1) × π
    0.12542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.394041314876862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58118697} λ = 0.58118697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394041314876862))-π/2
    2×atan(1.48296181579393)-π/2
    2×0.977509701451298-π/2
    1.9550194029026-1.57079632675     		φ = 0.38422308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58118697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.299560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38422308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.014361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19415 KachelY 14329 0.58118697 0.38422308 33.299560 22.014361
    Oben rechts KachelX + 1 19416 KachelY 14329 0.58137872 0.38422308 33.310547 22.014361
    Unten links KachelX 19415 KachelY + 1 14330 0.58118697 0.38404530 33.299560 22.004175
    Unten rechts KachelX + 1 19416 KachelY + 1 14330 0.58137872 0.38404530 33.310547 22.004175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38422308-0.38404530) × R
    0.000177780000000016 × 6371000     		dl = 1132.6363800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38422308-0.38404530) × R
    0.000177780000000016 × 6371000     		dr = 1132.6363800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58118697-0.58137872) × cos(0.38422308) × R
    0.000191750000000046 × 0.927089932338429 × 6371000     		do = 1132.56944962474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58118697-0.58137872) × cos(0.38404530) × R
    0.000191750000000046 × 0.927156556560419 × 6371000     		du = 1132.65084038932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38422308)-sin(0.38404530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927089932338429-0.927156556560419)×R²
    abs(0.58137872-0.58118697)×6.66242219903301e-05×R²
    0.000191750000000046×6.66242219903301e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.66242219903301e-05×40589641000000     		ar = 1282835.45797083m²