Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 19414 / 31756
↖ ↑ ↗
← N 67.596662°
W126.677856°		 ← 116.38 m → N 67.596662°
W126.675110°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
N 67.595615°
W126.677856°		 ← 116.39 m →
13 547 m²		 N 67.595615°
W126.675110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148120880126953 y=0.242282867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148120880126953 × 217)
    floor (0.148120880126953 × 131072)
    floor (19414.5)     		tx = 19414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242282867431641 × 217)
    floor (0.242282867431641 × 131072)
    floor (31756.5)     		ty = 31756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19414 / 31756 ti = "17/19414/31756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19414/31756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19414 ÷ 217
    19414 ÷ 131072     		x = 0.148117065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31756 ÷ 217
    31756 ÷ 131072     		y = 0.242279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148117065429688 × 2 - 1) × π
    -0.703765869140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.21094568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242279052734375 × 2 - 1) × π
    0.51544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6193084691655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21094568} λ = -2.21094568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6193084691655))-π/2
    2×atan(5.0495971567535)-π/2
    2×1.37529032518138-π/2
    2.75058065036277-1.57079632675     		φ = 1.17978432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21094568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.677856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17978432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.596662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19414 KachelY 31756 -2.21094568 1.17978432 -126.677856 67.596662
    Oben rechts KachelX + 1 19415 KachelY 31756 -2.21089775 1.17978432 -126.675110 67.596662
    Unten links KachelX 19414 KachelY + 1 31757 -2.21094568 1.17976605 -126.677856 67.595615
    Unten rechts KachelX + 1 19415 KachelY + 1 31757 -2.21089775 1.17976605 -126.675110 67.595615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17978432-1.17976605) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17978432-1.17976605) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21094568--2.21089775) × cos(1.17978432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381124234530188 × 6371000     		do = 116.380869938405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21094568--2.21089775) × cos(1.17976605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381141125517008 × 6371000     		du = 116.38602780443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17978432)-sin(1.17976605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381124234530188-0.381141125517008)×R²
    abs(-2.21089775--2.21094568)×1.68909868203393e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68909868203393e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68909868203393e-05×40589641000000     		ar = 13546.8204673355m²