Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19414 / 20931
↖ ↑ ↗
← S 44.613934°
E 33.288574°		 ← 869.63 m → S 44.613934°
E 33.299560°		 →
↑
869.58 m
↓
↑
869.58 m
↓
S 44.621754°
E 33.288574°		 ← 869.51 m →
756 160 m²		 S 44.621754°
E 33.299560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592483520507812 y=0.638778686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592483520507812 × 215)
    floor (0.592483520507812 × 32768)
    floor (19414.5)     		tx = 19414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638778686523438 × 215)
    floor (0.638778686523438 × 32768)
    floor (20931.5)     		ty = 20931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19414 / 20931 ti = "15/19414/20931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19414/20931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19414 ÷ 215
    19414 ÷ 32768     		x = 0.59246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20931 ÷ 215
    20931 ÷ 32768     		y = 0.638763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59246826171875 × 2 - 1) × π
    0.1849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58099522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.27752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.871876330289581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58099522} λ = 0.58099522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871876330289581))-π/2
    2×atan(0.418166194788509)-π/2
    2×0.396068143582436-π/2
    0.792136287164871-1.57079632675     		φ = -0.77866004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58099522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.288574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77866004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.613934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19414 KachelY 20931 0.58099522 -0.77866004 33.288574 -44.613934
    Oben rechts KachelX + 1 19415 KachelY 20931 0.58118697 -0.77866004 33.299560 -44.613934
    Unten links KachelX 19414 KachelY + 1 20932 0.58099522 -0.77879653 33.288574 -44.621754
    Unten rechts KachelX + 1 19415 KachelY + 1 20932 0.58118697 -0.77879653 33.299560 -44.621754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77866004--0.77879653) × R
    0.000136490000000045 × 6371000     		dl = 869.577790000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77866004--0.77879653) × R
    0.000136490000000045 × 6371000     		dr = 869.577790000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58099522-0.58118697) × cos(-0.77866004) × R
    0.000191749999999935 × 0.711855265800853 × 6371000     		do = 869.63033302121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58099522-0.58118697) × cos(-0.77879653) × R
    0.000191749999999935 × 0.711759398668387 × 6371000     		du = 869.513217969404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77866004)-sin(-0.77879653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711855265800853-0.711759398668387)×R²
    abs(0.58118697-0.58099522)×9.58671324661209e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58671324661209e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58671324661209e-05×40589641000000     		ar = 756160.303955894m²