Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19414 / 14517
↖ ↑ ↗
← N 20.086888°
E 33.288574°		 ← 1 147.33 m → N 20.086888°
E 33.299560°		 →
↑
1 147.35 m
↓
↑
1 147.35 m
↓
N 20.076570°
E 33.288574°		 ← 1 147.41 m →
1 316 437 m²		 N 20.076570°
E 33.299560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592483520507812 y=0.443038940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592483520507812 × 215)
    floor (0.592483520507812 × 32768)
    floor (19414.5)     		tx = 19414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443038940429688 × 215)
    floor (0.443038940429688 × 32768)
    floor (14517.5)     		ty = 14517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19414 / 14517 ti = "15/19414/14517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19414/14517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19414 ÷ 215
    19414 ÷ 32768     		x = 0.59246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14517 ÷ 215
    14517 ÷ 32768     		y = 0.443023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59246826171875 × 2 - 1) × π
    0.1849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58099522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    0.11395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.357992766362579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58099522} λ = 0.58099522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357992766362579))-π/2
    2×atan(1.43045527304768)-π/2
    2×0.960689333844165-π/2
    1.92137866768833-1.57079632675     		φ = 0.35058234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58099522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.288574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35058234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.086888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19414 KachelY 14517 0.58099522 0.35058234 33.288574 20.086888
    Oben rechts KachelX + 1 19415 KachelY 14517 0.58118697 0.35058234 33.299560 20.086888
    Unten links KachelX 19414 KachelY + 1 14518 0.58099522 0.35040225 33.288574 20.076570
    Unten rechts KachelX + 1 19415 KachelY + 1 14518 0.58118697 0.35040225 33.299560 20.076570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35058234-0.35040225) × R
    0.000180089999999966 × 6371000     		dl = 1147.35338999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35058234-0.35040225) × R
    0.000180089999999966 × 6371000     		dr = 1147.35338999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58099522-0.58118697) × cos(0.35058234) × R
    0.000191749999999935 × 0.939172870469497 × 6371000     		do = 1147.33044110031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58099522-0.58118697) × cos(0.35040225) × R
    0.000191749999999935 × 0.93923470621042 × 6371000     		du = 1147.40598206848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35058234)-sin(0.35040225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939172870469497-0.93923470621042)×R²
    abs(0.58118697-0.58099522)×6.18357409232217e-05×R²
    0.000191749999999935×6.18357409232217e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.18357409232217e-05×40589641000000     		ar = 1316436.81069705m²