Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19413 / 14286
↖ ↑ ↗
← N 22.451649°
E 33.277588°		 ← 1 128.98 m → N 22.451649°
E 33.288574°		 →
↑
1 129.07 m
↓
↑
1 129.07 m
↓
N 22.441495°
E 33.277588°		 ← 1 129.07 m →
1 274 746 m²		 N 22.441495°
E 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592453002929688 y=0.435989379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592453002929688 × 215)
    floor (0.592453002929688 × 32768)
    floor (19413.5)     		tx = 19413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435989379882812 × 215)
    floor (0.435989379882812 × 32768)
    floor (14286.5)     		ty = 14286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19413 / 14286 ti = "15/19413/14286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19413/14286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19413 ÷ 215
    19413 ÷ 32768     		x = 0.592437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14286 ÷ 215
    14286 ÷ 32768     		y = 0.43597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592437744140625 × 2 - 1) × π
    0.18487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58080348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    0.1280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.402286461611511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58080348} λ = 0.58080348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402286461611511))-π/2
    2×atan(1.49523960007746)-π/2
    2×0.98132576058976-π/2
    1.96265152117952-1.57079632675     		φ = 0.39185519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58080348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.277588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39185519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.451649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19413 KachelY 14286 0.58080348 0.39185519 33.277588 22.451649
    Oben rechts KachelX + 1 19414 KachelY 14286 0.58099522 0.39185519 33.288574 22.451649
    Unten links KachelX 19413 KachelY + 1 14287 0.58080348 0.39167797 33.277588 22.441495
    Unten rechts KachelX + 1 19414 KachelY + 1 14287 0.58099522 0.39167797 33.288574 22.441495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39185519-0.39167797) × R
    0.000177220000000033 × 6371000     		dl = 1129.06862000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39185519-0.39167797) × R
    0.000177220000000033 × 6371000     		dr = 1129.06862000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58080348-0.58099522) × cos(0.39185519) × R
    0.000191739999999996 × 0.924202146872905 × 6371000     		do = 1128.9827366354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58080348-0.58099522) × cos(0.39167797) × R
    0.000191739999999996 × 0.924269813322798 × 6371000     		du = 1129.06539631547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39185519)-sin(0.39167797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924202146872905-0.924269813322798)×R²
    abs(0.58099522-0.58080348)×6.76664498923119e-05×R²
    0.000191739999999996×6.76664498923119e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.76664498923119e-05×40589641000000     		ar = 1274745.64801872m²