Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19412 / 14355
↖ ↑ ↗
← N 21.749296°
E 33.266602°		 ← 1 134.68 m → N 21.749296°
E 33.277588°		 →
↑
1 134.68 m
↓
↑
1 134.68 m
↓
N 21.739091°
E 33.266602°		 ← 1 134.76 m →
1 287 534 m²		 N 21.739091°
E 33.277588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592422485351562 y=0.438095092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592422485351562 × 215)
    floor (0.592422485351562 × 32768)
    floor (19412.5)     		tx = 19412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438095092773438 × 215)
    floor (0.438095092773438 × 32768)
    floor (14355.5)     		ty = 14355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19412 / 14355 ti = "15/19412/14355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19412/14355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19412 ÷ 215
    19412 ÷ 32768     		x = 0.5924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14355 ÷ 215
    14355 ÷ 32768     		y = 0.438079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5924072265625 × 2 - 1) × π
    0.184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58061173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438079833984375 × 2 - 1) × π
    0.12384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.389055877316376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58061173} λ = 0.58061173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389055877316376))-π/2
    2×atan(1.47558700087119)-π/2
    2×0.975196574562919-π/2
    1.95039314912584-1.57079632675     		φ = 0.37959682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58061173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.266602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37959682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.749296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19412 KachelY 14355 0.58061173 0.37959682 33.266602 21.749296
    Oben rechts KachelX + 1 19413 KachelY 14355 0.58080348 0.37959682 33.277588 21.749296
    Unten links KachelX 19412 KachelY + 1 14356 0.58061173 0.37941872 33.266602 21.739091
    Unten rechts KachelX + 1 19413 KachelY + 1 14356 0.58080348 0.37941872 33.277588 21.739091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37959682-0.37941872) × R
    0.000178100000000014 × 6371000     		dl = 1134.67510000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37959682-0.37941872) × R
    0.000178100000000014 × 6371000     		dr = 1134.67510000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58061173-0.58080348) × cos(0.37959682) × R
    0.000191750000000046 × 0.92881410780819 × 6371000     		do = 1134.67577005249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58061173-0.58080348) × cos(0.37941872) × R
    0.000191750000000046 × 0.92888008732324 × 6371000     		du = 1134.75637321777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37959682)-sin(0.37941872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92881410780819-0.92888008732324)×R²
    abs(0.58080348-0.58061173)×6.5979515050274e-05×R²
    0.000191750000000046×6.5979515050274e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.5979515050274e-05×40589641000000     		ar = 1287534.07545762m²