Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19411 / 21085
↖ ↑ ↗
← S 45.805828°
E 33.255615°		 ← 851.60 m → S 45.805828°
E 33.266602°		 →
↑
851.55 m
↓
↑
851.55 m
↓
S 45.813486°
E 33.255615°		 ← 851.48 m →
725 124 m²		 S 45.813486°
E 33.266602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592391967773438 y=0.643478393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592391967773438 × 215)
    floor (0.592391967773438 × 32768)
    floor (19411.5)     		tx = 19411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643478393554688 × 215)
    floor (0.643478393554688 × 32768)
    floor (21085.5)     		ty = 21085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19411 / 21085 ti = "15/19411/21085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19411/21085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19411 ÷ 215
    19411 ÷ 32768     		x = 0.592376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21085 ÷ 215
    21085 ÷ 32768     		y = 0.643463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592376708984375 × 2 - 1) × π
    0.18475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58041998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.28692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.901405460455536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58041998} λ = 0.58041998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901405460455536))-π/2
    2×atan(0.405998643525763)-π/2
    2×0.38566690109356-π/2
    0.77133380218712-1.57079632675     		φ = -0.79946252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58041998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.255615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79946252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.805828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19411 KachelY 21085 0.58041998 -0.79946252 33.255615 -45.805828
    Oben rechts KachelX + 1 19412 KachelY 21085 0.58061173 -0.79946252 33.266602 -45.805828
    Unten links KachelX 19411 KachelY + 1 21086 0.58041998 -0.79959618 33.255615 -45.813486
    Unten rechts KachelX + 1 19412 KachelY + 1 21086 0.58061173 -0.79959618 33.266602 -45.813486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79946252--0.79959618) × R
    0.000133660000000035 × 6371000     		dl = 851.547860000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79946252--0.79959618) × R
    0.000133660000000035 × 6371000     		dr = 851.547860000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58041998-0.58061173) × cos(-0.79946252) × R
    0.000191750000000046 × 0.697092173246369 × 6371000     		do = 851.595159705768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58041998-0.58061173) × cos(-0.79959618) × R
    0.000191750000000046 × 0.696996335269732 × 6371000     		du = 851.478080271869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79946252)-sin(-0.79959618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697092173246369-0.696996335269732)×R²
    abs(0.58061173-0.58041998)×9.58379766363704e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58379766363704e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58379766363704e-05×40589641000000     		ar = 725124.187543354m²