Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19411 / 14259
↖ ↑ ↗
← N 22.725524°
E 33.255615°		 ← 1 126.80 m → N 22.725524°
E 33.266602°		 →
↑
1 126.78 m
↓
↑
1 126.78 m
↓
N 22.715390°
E 33.255615°		 ← 1 126.88 m →
1 269 696 m²		 N 22.715390°
E 33.266602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592391967773438 y=0.435165405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592391967773438 × 215)
    floor (0.592391967773438 × 32768)
    floor (19411.5)     		tx = 19411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435165405273438 × 215)
    floor (0.435165405273438 × 32768)
    floor (14259.5)     		ty = 14259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19411 / 14259 ti = "15/19411/14259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19411/14259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19411 ÷ 215
    19411 ÷ 32768     		x = 0.592376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14259 ÷ 215
    14259 ÷ 32768     		y = 0.435150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592376708984375 × 2 - 1) × π
    0.18475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58041998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435150146484375 × 2 - 1) × π
    0.12969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.407463646770477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58041998} λ = 0.58041998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407463646770477))-π/2
    2×atan(1.50300080560767)-π/2
    2×0.983715770764017-π/2
    1.96743154152803-1.57079632675     		φ = 0.39663521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58041998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.255615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39663521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.725524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19411 KachelY 14259 0.58041998 0.39663521 33.255615 22.725524
    Oben rechts KachelX + 1 19412 KachelY 14259 0.58061173 0.39663521 33.266602 22.725524
    Unten links KachelX 19411 KachelY + 1 14260 0.58041998 0.39645835 33.255615 22.715390
    Unten rechts KachelX + 1 19412 KachelY + 1 14260 0.58061173 0.39645835 33.266602 22.715390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39663521-0.39645835) × R
    0.000176860000000001 × 6371000     		dl = 1126.77506000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39663521-0.39645835) × R
    0.000176860000000001 × 6371000     		dr = 1126.77506000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58041998-0.58061173) × cos(0.39663521) × R
    0.000191750000000046 × 0.922366088439717 × 6371000     		do = 1126.7986165072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58041998-0.58061173) × cos(0.39645835) × R
    0.000191750000000046 × 0.922434398032567 × 6371000     		du = 1126.88206618698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39663521)-sin(0.39645835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922366088439717-0.922434398032567)×R²
    abs(0.58061173-0.58041998)×6.83095928492028e-05×R²
    0.000191750000000046×6.83095928492028e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.83095928492028e-05×40589641000000     		ar = 1269695.59654137m²