Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19410 / 21086
↖ ↑ ↗
← S 45.813486°
E 33.244629°		 ← 851.48 m → S 45.813486°
E 33.255615°		 →
↑
851.42 m
↓
↑
851.42 m
↓
S 45.821143°
E 33.244629°		 ← 851.36 m →
724 916 m²		 S 45.821143°
E 33.255615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592361450195312 y=0.643508911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592361450195312 × 215)
    floor (0.592361450195312 × 32768)
    floor (19410.5)     		tx = 19410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643508911132812 × 215)
    floor (0.643508911132812 × 32768)
    floor (21086.5)     		ty = 21086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19410 / 21086 ti = "15/19410/21086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19410/21086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19410 ÷ 215
    19410 ÷ 32768     		x = 0.59234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21086 ÷ 215
    21086 ÷ 32768     		y = 0.64349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59234619140625 × 2 - 1) × π
    0.1846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58022823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.2869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.901597208054016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58022823} λ = 0.58022823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901597208054016))-π/2
    2×atan(0.405920801724108)-π/2
    2×0.38560007281287-π/2
    0.77120014562574-1.57079632675     		φ = -0.79959618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58022823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79959618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.813486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19410 KachelY 21086 0.58022823 -0.79959618 33.244629 -45.813486
    Oben rechts KachelX + 1 19411 KachelY 21086 0.58041998 -0.79959618 33.255615 -45.813486
    Unten links KachelX 19410 KachelY + 1 21087 0.58022823 -0.79972982 33.244629 -45.821143
    Unten rechts KachelX + 1 19411 KachelY + 1 21087 0.58041998 -0.79972982 33.255615 -45.821143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79959618--0.79972982) × R
    0.000133640000000046 × 6371000     		dl = 851.420440000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79959618--0.79972982) × R
    0.000133640000000046 × 6371000     		dr = 851.420440000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58022823-0.58041998) × cos(-0.79959618) × R
    0.000191749999999935 × 0.696996335269732 × 6371000     		do = 851.478080271376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58022823-0.58041998) × cos(-0.79972982) × R
    0.000191749999999935 × 0.696900499184616 × 6371000     		du = 851.361003148231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79959618)-sin(-0.79972982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696996335269732-0.696900499184616)×R²
    abs(0.58041998-0.58022823)×9.58360851162077e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58360851162077e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58360851162077e-05×40589641000000     		ar = 724916.001906208m²