Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19410 / 14254
↖ ↑ ↗
← N 22.776182°
E 33.244629°		 ← 1 126.38 m → N 22.776182°
E 33.255615°		 →
↑
1 126.39 m
↓
↑
1 126.39 m
↓
N 22.766052°
E 33.244629°		 ← 1 126.46 m →
1 268 794 m²		 N 22.766052°
E 33.255615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592361450195312 y=0.435012817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592361450195312 × 215)
    floor (0.592361450195312 × 32768)
    floor (19410.5)     		tx = 19410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435012817382812 × 215)
    floor (0.435012817382812 × 32768)
    floor (14254.5)     		ty = 14254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19410 / 14254 ti = "15/19410/14254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19410/14254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19410 ÷ 215
    19410 ÷ 32768     		x = 0.59234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14254 ÷ 215
    14254 ÷ 32768     		y = 0.43499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59234619140625 × 2 - 1) × π
    0.1846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58022823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43499755859375 × 2 - 1) × π
    0.1300048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.408422384762878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58022823} λ = 0.58022823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408422384762878))-π/2
    2×atan(1.50444248056647)-π/2
    2×0.984157842539865-π/2
    1.96831568507973-1.57079632675     		φ = 0.39751936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58022823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39751936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.776182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19410 KachelY 14254 0.58022823 0.39751936 33.244629 22.776182
    Oben rechts KachelX + 1 19411 KachelY 14254 0.58041998 0.39751936 33.255615 22.776182
    Unten links KachelX 19410 KachelY + 1 14255 0.58022823 0.39734256 33.244629 22.766052
    Unten rechts KachelX + 1 19411 KachelY + 1 14255 0.58041998 0.39734256 33.255615 22.766052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39751936-0.39734256) × R
    0.000176799999999977 × 6371000     		dl = 1126.39279999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39751936-0.39734256) × R
    0.000176799999999977 × 6371000     		dr = 1126.39279999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58022823-0.58041998) × cos(0.39751936) × R
    0.000191749999999935 × 0.922024165821405 × 6371000     		do = 1126.38091041556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58022823-0.58041998) × cos(0.39734256) × R
    0.000191749999999935 × 0.922092596405815 × 6371000     		du = 1126.46450790337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39751936)-sin(0.39734256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922024165821405-0.922092596405815)×R²
    abs(0.58041998-0.58022823)×6.8430584409862e-05×R²
    0.000191749999999935×6.8430584409862e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.8430584409862e-05×40589641000000     		ar = 1268794.43265824m²