Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1941 / 875
↖ ↑ ↗
← N 71.216075°
W  9.404297°		 ← 3 146.90 m → N 71.216075°
W  9.316406°		 →
↑
3 149.19 m
↓
↑
3 149.19 m
↓
N 71.187754°
W  9.404297°		 ← 3 151.48 m →
9 917 380 m²		 N 71.187754°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4739990234375 y=0.2137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4739990234375 × 212)
    floor (0.4739990234375 × 4096)
    floor (1941.5)     		tx = 1941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2137451171875 × 212)
    floor (0.2137451171875 × 4096)
    floor (875.5)     		ty = 875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1941 / 875 ti = "12/1941/875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1941/875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1941 ÷ 212
    1941 ÷ 4096     		x = 0.473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 875 ÷ 212
    875 ÷ 4096     		y = 0.213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213623046875 × 2 - 1) × π
    0.57275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79935946413843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16413594} λ = -0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79935946413843))-π/2
    2×atan(6.04577368904059)-π/2
    2×1.40687566025873-π/2
    2.81375132051746-1.57079632675     		φ = 1.24295499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24295499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.216075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1941 KachelY 875 -0.16413594 1.24295499 -9.404297 71.216075
    Oben rechts KachelX + 1 1942 KachelY 875 -0.16260196 1.24295499 -9.316406 71.216075
    Unten links KachelX 1941 KachelY + 1 876 -0.16413594 1.24246069 -9.404297 71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 1942 KachelY + 1 876 -0.16260196 1.24246069 -9.316406 71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24295499-1.24246069) × R
    0.00049430000000017 × 6371000     		dl = 3149.18530000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24295499-1.24246069) × R
    0.00049430000000017 × 6371000     		dr = 3149.18530000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16413594--0.16260196) × cos(1.24295499) × R
    0.00153398000000002 × 0.322000088191557 × 6371000     		do = 3146.90254065494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16413594--0.16260196) × cos(1.24246069) × R
    0.00153398000000002 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 3151.47565381404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24295499)-sin(1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322000088191557-0.322468022238295)×R²
    abs(-0.16260196--0.16413594)×0.000467934046738505×R²
    0.00153398000000002×0.000467934046738505×6371000²
    0.00153398000000002×0.000467934046738505×40589641000000     		ar = 9917380.21385877m²