Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1941 / 2385
↖ ↑ ↗
← S 28.381735°
W  9.404297°		 ← 8 598.28 m → S 28.381735°
W  9.316406°		 →
↑
8 595.18 m
↓
↑
8 595.18 m
↓
S 28.459033°
W  9.404297°		 ← 8 592 m →
73 876 763 m²		 S 28.459033°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4739990234375 y=0.5823974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4739990234375 × 212)
    floor (0.4739990234375 × 4096)
    floor (1941.5)     		tx = 1941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5823974609375 × 212)
    floor (0.5823974609375 × 4096)
    floor (2385.5)     		ty = 2385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1941 / 2385 ti = "12/1941/2385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1941/2385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1941 ÷ 212
    1941 ÷ 4096     		x = 0.473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2385 ÷ 212
    2385 ÷ 4096     		y = 0.582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16413594} λ = -0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516951525502686))-π/2
    2×atan(0.596335694006302)-π/2
    2×0.537720801437499-π/2
    1.075441602875-1.57079632675     		φ = -0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1941 KachelY 2385 -0.16413594 -0.49535472 -9.404297 -28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 1942 KachelY 2385 -0.16260196 -0.49535472 -9.316406 -28.381735
    Unten links KachelX 1941 KachelY + 1 2386 -0.16413594 -0.49670383 -9.404297 -28.459033
    Unten rechts KachelX + 1 1942 KachelY + 1 2386 -0.16260196 -0.49670383 -9.316406 -28.459033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49535472--0.49670383) × R
    0.00134910999999999 × 6371000     		dl = 8595.17980999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49535472--0.49670383) × R
    0.00134910999999999 × 6371000     		dr = 8595.17980999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16413594--0.16260196) × cos(-0.49535472) × R
    0.00153398000000002 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 8598.2750712562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16413594--0.16260196) × cos(-0.49670383) × R
    0.00153398000000002 × 0.879158059759019 × 6371000     		du = 8591.99991972383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49535472)-sin(-0.49670383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.879158059759019)×R²
    abs(-0.16260196--0.16413594)×0.000642091491786956×R²
    0.00153398000000002×0.000642091491786956×6371000²
    0.00153398000000002×0.000642091491786956×40589641000000     		ar = 73876763.4706524m²