Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19409 / 31757
↖ ↑ ↗
← N 67.595615°
W126.691589°		 ← 116.41 m → N 67.595615°
W126.688843°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
N 67.594569°
W126.691589°		 ← 116.42 m →
13 550 m²		 N 67.594569°
W126.688843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148082733154297 y=0.242290496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148082733154297 × 217)
    floor (0.148082733154297 × 131072)
    floor (19409.5)     		tx = 19409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242290496826172 × 217)
    floor (0.242290496826172 × 131072)
    floor (31757.5)     		ty = 31757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19409 / 31757 ti = "17/19409/31757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19409/31757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19409 ÷ 217
    19409 ÷ 131072     		x = 0.148078918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31757 ÷ 217
    31757 ÷ 131072     		y = 0.242286682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148078918457031 × 2 - 1) × π
    -0.703842163085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.21118537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242286682128906 × 2 - 1) × π
    0.515426635742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.61926053226588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21118537} λ = -2.21118537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61926053226588))-π/2
    2×atan(5.04935510052323)-π/2
    2×1.37528119002195-π/2
    2.75056238004389-1.57079632675     		φ = 1.17976605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21118537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.691589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17976605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.595615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19409 KachelY 31757 -2.21118537 1.17976605 -126.691589 67.595615
    Oben rechts KachelX + 1 19410 KachelY 31757 -2.21113743 1.17976605 -126.688843 67.595615
    Unten links KachelX 19409 KachelY + 1 31758 -2.21118537 1.17974778 -126.691589 67.594569
    Unten rechts KachelX + 1 19410 KachelY + 1 31758 -2.21113743 1.17974778 -126.688843 67.594569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17976605-1.17974778) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17976605-1.17974778) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21118537--2.21113743) × cos(1.17976605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381141125517008 × 6371000     		do = 116.410310305389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21118537--2.21113743) × cos(1.17974778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381158016376606 × 6371000     		du = 116.415469208681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17976605)-sin(1.17974778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381141125517008-0.381158016376606)×R²
    abs(-2.21113743--2.21118537)×1.68908595981621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68908595981621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68908595981621e-05×40589641000000     		ar = 13550.2473325072m²